卢瑟福散射公式的一个简易推导.pdf

维普资讯 声 鞋两 诗诊 卢瑟福散射公式的一个简易推导① 卜．f~2-／2 王志符 2 、 摘 要 平方反比有心力系统的冉格一捞茨矢量 (Runge—Lsnzv~oy)由 入射柱子的初速和碰撞参量所央定．其量值等于粒子执遭园锥扭线的偏心率 。基 于这矢量的守恒性 ，一粒子散射的偏转角和微分截面即可导出。 一 个平方反 比有 fl,力作用的二体弹性系统m和 M，(为简明计 ，设 m 《M@)，除开大家 熟知的几个守恒量为能量、动量和角动量而外，还有一个与平方反 比作用的四维转动对称性 密切相关 “的守恒量 ，称为 格一楞茨矢量： P= 4-(尸× )lnik (1) 式 中 Y为力的作用方 向上的单位矢量 ，或是 m粒子 以力心为原点的单位矢径 ，P— m 一 m(Q，／dt)是m的线动量， = ×P是其绕力心的角动量，K是 由力的物理特性所决定的恒 量，其正负一般由这力是引力或斥力而定。为了说明 e的守恒性，可以取 e的时间导数如下： 一 A 笔=等4-[(；×)m／]—一；×(；×i)／+；×(；×；)m／ ^ 一 一 A 一 一 =一 × (j× )／] + ]× ( × ￡，)／ = o (2) 显然，c不随时间而变。 自e的守恒性出发 ，即可得出平方反 比中心力作用下散射粒子的轨道方程，以力心为原 点并沿 e的方向选取极坐标轴。，我们有 ： 】· 一 】踔。鲫 一 y ·】-4-P × ／ ]一 + ·(P× L)／mt — + L ·( × )~nik一 -4-L ·Lfmk— -4-L。tlnk， 式巾0为 Y与}厦坐标轴之间的央角。因而有： L2／ 1一 ∞ 此即散射粒子的轨道方程。式中 为i的量值。自(1)式： 2一[A+ (；×Z)／]：=1—2L：fm + t ． 或 ： c= 14-2L ／m 。 ① 据本^ 198S—B8在美国LinivotVJlginiafⅡ~}lorunivI井学时的讲稿整理译出 @ 如 ¨不 屉远小于M、可采用质心系并引入折台质量 … M／{m十M)代替m，车丈垒部论硅即可成立 维普资讯 此处 E=P／2m一 ／^，．为系统的能量 。在计算 (d)式时注意 ．p ·L = P ·( × P)一 0 对卢瑟放散射．力为静 电库仑斥力 ，u一粒子 自oc处以Eo(0)和描准距离b入射 ，故 c0，而 粒子轨遭为一支双 曲线 ，其与力心 (或靶棱)之最近距离为ON如图(1)所示 。 此外 ，由于粒子轨道相对于极坐标轴的对称性 ，可得散射角 = 一 2 ，此处 为当Y — 时入射粒子 的扳角。 自(3)式可得 cos口。= l 。于是有 oot( 2)：Cotc昔一0ol=tg = √ 一l一 ／2 ／m 、 ‘ j 式中 =矾 寺m ，L—Lo=，劬o，并且对库仑斥力 =zZe／d ，代人上式．有： cot( ／2)一 肛 d疵 b(m )l=z,e， (5)