复变函数 吉林大学3-1.ppt

第一节 复变函数积分的概念 及其简单性质 3.1.1 复变函数积分的定义 3.1.2 复变函数积分的计算问题 3.3.3 复变函数积分的基本性质 * 回顾:（分段）光滑曲线的概念 由若干条光滑曲线依次相接的所组成的连续曲线,称之为分段光滑曲线. 特点 （1）光滑曲线上的各点都有切线 （2）光滑曲线可以求长 特别申明 若无特别说明，今后所说的曲线总是指光滑或分段光滑曲线。 闭曲线的正向: 闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左边. 与之相反的方向就是曲线的负方向. 曲线的方向（定向）规定: 开曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向. 那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C- 对简单闭曲线而言，逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向。 1. 积分的定义: 3.1 复变函数积分的定义 (1) 对C作分割T 分划 (2)取介点集 取点 (3)作(Rinmann)和 求和 (4)求极限 取极限 关于定义的几点说明: * 2 复积分存在的条件及其计算方法 1. 充分条件 复变函数的积分可通过两个二元实函数的第二型曲线积分来计算！ 这是实的第二型曲线积分 * (1) 将各函数及点复数化 证 （利用复变函数的积分定义证明） * 当 n 无限增大, 而弧段长度的最大值?0时, (2)求极限 在形式上可以看成是 均为第二型曲线积分 复积分计算的更简洁的形式：参数变换法 第二型曲线积分的计算 复积分计算的参数变换法 点表示 定理 设曲线C的参数方程为: z=z(t)=x(t)+iy(t) ??t?? 2. f(z)沿曲线C连续 曲线C的方向与参数t的增加的方向一致！ 注：在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是（按段）光滑的. * （3,4） 解：此直线的复数表示为： 另一方面，我们有 这两个积分都与路线C 无关 C * 右端两个线积分与路径C无关。 实部为例 * 解：此积分路径的复数表示为： 于是 * 重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关. * 解 (1) 积分路径的参数方程为 * (2) 积分路径的参数方程为 原式=0 由(1)和(2)两种情形，我们猜测： 积分值与路径有关 * 1.2 复积分的性质 复积分与实变函数的定积分有类似的性质. 被积函数的线性可加性 * 积分路径的可加性 积分估值定理 性质(5),(6)的证明 两端取极限得 [证毕] 性质5 积分估值定理 * 例1.4 解 根据估值不等式知 （3,4） C * * 四、小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意：复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重点掌握复积分的一般方法. 思考题 即为一元实函数的定积分. 解：