插值与逼近1.ppt

2007.9.19 河北大学电子信息工程学院 第五章 插值与逼近 目录 5.1 代数插值 5.2 Hermit插值 5.3 样条插值 5.4 正交多项式 5.5 函数的最佳平方逼近 函数表达式过于复杂而不便于计算； 已知由实验（测量）得到的离散数据对——函数 y=f(x)在区间[a,b]中互异的n+1个xi ( i=0, 1, ... ,n)处的值yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 需要反映其规律的函数。 在工程技术与科学研究中常有需求 　问题的提出—— 本章的两个任务： 为复杂函数表达式（如非有理函数）提供简单函数构成的近似描述； 为离散数据对（通常是实验数据）建立简单函数构成的连续模型。 y 4.00 6.41 8.01 8.79 9.53 9.86 10.33 10.42 0.53 10.61 t 1 2 3 4 6 8 10 12 14 16 例：在某化学反应里，生成物的质量浓度 y 与时间 t(min) 的关系如表。为了研究该化学反应的性质，如反映速率等，欲求 y 与 t 之间的关系 y=f(t)。 1）选定简单函数的类型——多项式、有理函数、三角函数等 　 需处理的问题—— 2）确定模型逼近的目标——按某种寻优策略，由已知数据确定未知参数 3）误差分析——常用余项（截断误差）的估计式 利用一组线性无关的简单函数生成的线性空间作为简单函数类， 对基函数进行一种恰当的构造，得到f(x)近似的数学模型: 插值型—— （过点） Φ(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n) 逼近型——使某种距离（范数）达到极小化来描述 5.1 一元函数的代数插值 f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数 xi ( i=0, 1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数 已知 f(x) 在 xi 的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n) 使其满足 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 函数组是次数不超过n的多项式 {Φ(xk)} (k=0,1, ..., n) 且在点集 {x0, x1, …… , xn} 线性无关 在多项式集合 D=Span {Φ(x0), Φ(x1)……, Φ(xn)} 中寻求多项式 这就是多项式插值问题 被插值函数 插值节点 离散数据对 插值基函数 插值多项式 插值条件 5.1.1 一般问题 x0 x1 x2 x3 x4 x P(x) ? f(x) 被插值函数f(x) y=f(x)≈P(x) , 使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n) 其它点 P(x)? f(x) 从几何意义来看,上述问题就是要求一条多项式曲线 y=Pn(x), 使它通过已知的n+1个点(xi,yi) (i=0,1, … ,n),并用Pn(x)近似表示f(x). 几何意义 插值多项式P(x) 插值条件 Pn(x)=c0+c1x+c2x2+...+cnxn 其中ci为实数，P(x) 为 插值多项式， 相应的插值法称多项式插值 若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值 若P(x)为三角多项式，就称为三角插值. 本章主要研究： 如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数； 讨论插值多项式P(x)的存在唯一性、收敛些及误差估计等。 定理 设节点 xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值条件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 的次数不超过n的多项式存在且唯一. 证 设所求的插值多项式为 Pn(x)=c0+c1x+c2x2+...+cnxn 则由插值条件式 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数c0 ,c1 , …,cn的线性代数方程组 插值多项式的存在性和唯一性 此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式： 由克莱姆法则知方程组的解存在唯一。 （1） 基函数 Lagrange 法1736-1813 5.1.2 拉格朗日插值（Lagrange) 给定：y=f(x)数据 称为拉格朗日基函数, 都是n次多项式 （2） 插值多项式的确