椭圆的几何性质稿.docx

各位同学,大家好!今天我们学习的是人教b版选修2—1第二章第二节《椭圆的几何性质》，请同学们回忆，解析几何研究问题的基本思路是什么？用坐标法研究图形性质的基本思路是，借助于坐标系，把点与坐标、曲线与方程联系起来，从而达到形与数的结合，再通过方程对曲线的几何性质进行研究，把几何问题转化为代数问题来解决。我们已经学习了椭圆的标准方程，完成了第一步，由曲线求它的方程；这节课，我们将完成第二步，利用方程研究曲线的性质。那么，下面我们就来以焦点在x轴上的椭圆标准方程为例，研究它的几何性质.研究曲线的几何性质是为了从整体上把握曲线的形状、大小和位置.在绘制椭圆的过程中，我们发现，椭圆是一个封闭的图形，它的横纵坐标必然在一定的范围内，所以，我们首先用方程来研究椭圆的范围。由椭圆的标准方程，同理可得，即,根据二元一次不等式表示的平面区域，说明椭圆位于直线之间，说明椭圆位于直线之间，所以椭圆位于直线所围成的矩形内。椭圆位于这样的一个矩形内，它的变化具有什么性质呢，接下来我们来研究椭圆的对称性。图形有哪些对称性呢？一种是轴对称，一种是中心对称。如何判断椭圆具有轴对称的性质？那就是看椭圆上任意一点关于轴的对称点是否仍在曲线上，比如，我们要判断一个图像是否关于轴对称，就是要看点关于轴的对称点是否在曲线上，也就是坐标和是否同时满足方程，当我们保持不变，而换为时，方程不变，则曲线关于轴对称，否则，曲线不关于轴对称；同样，我们可以判断图像是否关于轴对称，就是要看点的坐标是否满足曲线方程，我们保持不变，而换为时，看方程是否不变，这样，我们不需要画出曲线，直接由方程，就能够判断曲线的对称性。由椭圆的双平方式结构，显然，不变，换为时，方程不变，椭圆关于轴对称；不变，换为，方程不变，椭圆关于轴对称；图象同时关于轴，轴对称，椭圆是否就关于原点对称了？显然，换为，换为，方程也不会发生该变，所以椭圆关于原点对称。这样，我们根据标准方程的双二次结构就能判断椭圆的对称性：椭圆既是分别以轴和轴为对称轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的中心对称图形，椭圆的对称中心也简称椭圆的中心。我们推导椭圆方程时，以焦点在对称轴上，中心在原点这种位置建系，才得到了椭圆的标准方程。了解了椭圆的范围和对称性后，我们来研究椭圆中的特殊点，这就是椭圆的第三个性质：椭圆的顶点。顶点这个概念我们并不陌生，在二次函数的学习中，我们曾接触过抛物线的顶点，抛物线的顶点在哪儿？抛物线的顶点是抛物线与它对称轴的交点，同样，我们也定义椭圆的顶点为椭圆与它的对称轴的交点，我们分别设它为，，，怎么求椭圆与对称轴的交点呢？由椭圆的标准方程，令y＝0得，x＝±a，所以椭圆的左右顶点坐标分别为 (－a,0)和(a,0).同理,令x＝0得y＝±b，所以椭圆的另两个顶点坐标分别是是在的条件下，线段A1A2比较长，我们称它椭圆的长轴，长为2a，B1B2比较短，我们称它椭圆的短轴，长是2b，2a和2b就是我们刚才画出的矩形框的长和宽。显然，椭圆的两个焦点都在长轴上。通过研究，同学们能说出a、b、c的几何意义是什么？线段A1A2长为2a，所以a的几何意义是长半轴长，线段B1B2长为2b，所以b的几何意义是短半轴长，同样，c的几何意义是半焦距，由a，b，c满足的关系式，直角三角形中，长为b，长为c，那么的长就是a，所以直角三角形直观地表示了a，b，c三者的关系。例1 计算下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标，并在平面直角坐标系内，画出下列椭圆的图形。（1）（2）解：（1）（2）所以，长轴长为10，短轴长为6 所以，长轴长为10，短轴长为6焦点坐标为，焦点坐标为，顶点坐标为顶点坐标为比较两个椭圆的图形，他们的圆扁程度明显是不一样的，下面我们就来研究椭圆的第四个几何性质：椭圆的离心率。椭圆的离心率是椭圆的焦距与长轴长的比，用字母e表示，。因为，所以，那么，，在上题的第一小问中，椭圆的离心率是，第二小问中，椭圆的离心率是，是不是离心率较大的椭圆形状比较扁呢？当e越接近1时，c越趋近于a，越趋近于0，我们可以想象，在保持椭圆的长轴不变的情况下，短轴越短，椭圆应该怎么样？椭圆越扁；当e越接近0时，c越趋近于0，越趋近于a，我们可以想象，在保持椭圆的长轴不变的情况下，短轴越长，椭圆应该怎么样？因此椭圆越趋近于圆；当e等于0时，，椭圆的标准方程就变为圆的标准方程。这样，我们就仅仅通过方程就能比较出椭圆的扁圆程度。我们也能从几何方面进行解释，在直角三角形中，也能看出椭圆的离心率与扁圆程度的关系，离心率e就是的余弦值。，所以，离心率的范围是，e越接近1，就越接近于，椭圆就越扁，反之，e越接近0，就越接近于，椭圆就越接近于圆，所以说离心率是描述椭圆扁圆程度的量。例2 （1）求椭圆的离心率；（2）求与椭圆有相同离