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抽象函数问题的常用处理方法2008年高三文科数学培优资料（四） 抽象函数问题的常用处理方法：函数模型法、代数演绎法、赋值法。 例1：给出四个函数，分别满足①f(x+y)= f(x)+ f(y) ②g(x+y)= g(x) g(y)③h(xy)= h(x)+ h(y)④t(xy)= t(x) t(y)，又给出四个函数图象 正确的匹配方案是（ ） 丁 （A）①—丁②—乙③—丙④—甲（B）①—乙②—丙③—甲④—丁 （C）①—丙②—甲③—乙④—丁（D）①—丁②—甲③—乙④—丙（ 注意：函数模型法） 例2：设定义在R上的函数f(x)对于任意x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且f(1)=-2，当x＞0时，f(x) ＜0。 ⑴判断f(x)的奇偶性，并加以证明； ⑵试问：当-2003≤x≤2003时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由； ⑶解关于x的不等式f(bx2)-f(x)＞f(b2x)-f(b)，其中b2≥2. 注意:代数演绎法(抓住函数奇偶性、单调性的定义) 例３．定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，． （1）试求的值；判断的单调性并证明你的结论； （2）设，若，试确定的取值范围． （3）试举出一个满足条件的函数． 例4．设函数满足： ① 对任意实数，，都有； ② 函数的图像关于直线对称；③不恒为零，且当时，1。 ⑴ 求证：为偶函数。 ⑵ 求证：是周期函数。 ⑶ 求 例5、(函数、导数专题资料第4页)（广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有． 补：（Ⅲ）、已知x时，f(x)=x2,求当x时，函数y=f(x)的表达式，并求此时f(x)的最大值和最小值。 归纳：(1) 满足f(x+a)= (a是大于零的常数)，则f(x)是周期为2a的周期函数。 满足f(x+a)= f(x-a)(a0)的函数f(x)是以2|a|为周期的函数。 满足f(a+x)= f(a-x), f(b+x)= f(b-x) (b＞a)的函数f(x)是以2(b-a)为周期的函数。 f(x)是奇函数，满足f(a+x)= -f(a-x)(a0)的函数f(x)是以2a为周期的函数。 f(x)是偶函数，满足f(a+x)= -f(a-x)(a0)的函数f(x)是以4a为周期的函数。 归纳：满足怎样的关系式？函数具有单调性。 反馈练习：（2002北京高考题）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足： （Ⅰ）求，f(2)的值； （Ⅱ）判断的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅲ）若，求数列的前项的和． [答案与提示 ：（Ⅰ）；（Ⅱ）奇函数；（Ⅲ）．] 抽象函数问题的常用处理方法2008年高三文科数学培优资料（四） 抽象函数问题的常用处理方法：函数模型法、代数演绎法、赋值法。 例1：给出四个函数，分别满足①f(x+y)= f(x)+ f(y) ②g(x+y)= g(x) g(y)③h(xy)= h(x)+ h(y)④t(xy)= t(x) t(y)，又给出四个函数图象 正确的匹配方案是（ D ） （A）①—丁②—乙③—丙④—甲（B）①—乙②—丙③—甲④—丁 （C）①—丙②—甲③—乙④—丁（D）①—丁②—甲③—乙④—丙 归纳：函数模型法： ⑴抽象函数f(x+y)= f(x)+ f(y) 可由一个特殊函数正比例函数f(x)= kx抽象而成的。 ⑵抽象函数f(xy)=f(x)f(y)可由一个特殊函数幂函数f(x)=xα抽象而成的。 ⑶抽象函数f(x+y)=f(x)f(y)可由一个特殊函数指数函数f(x)=ax(a＞0，且a1)抽象而成的。 ⑷抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)可由一个特殊函数对数函数f(x)=logax(a＞0，且a1)抽象而成的。 (5)抽象函数f(x+y)=可由一个特殊函数正切函数f(x)=tanx抽象而成的。 例2：设定义在R上的函数f(x)对于任意x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且f(1)=-2，当x＞0时，f(x) ＜0。 ⑴判断f(x)的奇偶性，并加以证明； ⑵试问：当-2003≤x≤2003时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由； ⑶解关于x的不等式f(bx2)-f(x)＞f(b2x)-f(b)，其中b2≥2. 解：⑴令x=y=0，可得f(0)=0 令y=-x，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)= －f(x)，∴f(x)为奇函数 ⑵设－3≤x1＜x2≤3，y=－x1，x=x2 则f(x2－x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2)－f(x1)，因为x＞0时，f(x)＜0， 故f(x2－x1)＜0，即f