控制原理CHAPTER4.ppt

第四章 根轨迹法 4-1 根轨迹的基本概念 1.开环零点、极点及根迹增益 2. 闭环根与开环传递函数的关系 3. 根轨迹绘制举例（解析法） k取不同值对应的闭环根 s1,s2 4-2 根轨迹的绘制方法 一、根轨迹方程 幅角条件及幅值条件又可写成 ： 例4-1 设系统的开环传函为: 二、根轨迹的绘制规则 2. 根轨迹的分支数 5. 根轨迹的渐近线 6. 根轨迹的分离点及会合点 7. 根轨迹与虚轴的交点 (2) 用劳斯判据求 例4-4 若一控制系统的开环传递函数为 8.复数极零点的出射角和入射角 9. 闭环极点之和 三、根轨迹绘制举例 例4-7 某负反馈控制系统的开环传递函数为 例4-8 若一正反馈控制系统的开环传递函数为 4-3其它形式的根轨迹 4-4 增加开环零极点对根轨迹的影响 例4-10 一控制系统的开环传递函数为： 应采取的措施：将比例调节变为比例微分调节，即增加开环零点。 二、增加极点对根轨迹的影响 4-5 闭环零极点分布与系统性能指标 二、闭环零、极点对系统瞬态性能的影响 3.要求过渡过程尽快结束，则系数Ak要小。 4.主导极点与偶极子 主导极点 偶极子：一对靠得很近的闭环零、极点 5. 不能忽略的闭环零点对瞬态响应的影响。 可使系统响应速度加快，超调量增大， 在一定条件下调节时间缩短。 6.不能忽略的闭环极点对瞬态响 应的影响。 可使系统响应速度减慢，超调量减小， 调节时间加长。 ∴应使分母大，分子小。 三、利用闭环主导极点估算系统的性能指标 解：闭环极点有3个：-1.5 ，-5±j8.66 实数极点可看作是主导极点。则 试近似计算系统的动态性能指标σ%，ts 。 例4-11 某系统闭环传递函数 ∴动态性能指标 σ%=0 ts =3T=3×0.67=2秒 (δ=5%) 解：闭环极点有3个：-1.5 ，-5±j8.66 闭环零点有1个：-1.7 实数零、极点构成偶极子。则 试近似计算系统的动态性能指标σ%，ts 。 例4-12 某系统闭环传递函数 ∴动态性能指标 σ%=16.3% ts =0.6秒 (δ=5%) ∵ζ=0.5，ωn=10 (1)画根轨迹 ∵ζ=0.5 β=60° ∴s1,2= - 0.33±j0.58 试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比为0.5时的性能指标。 解: 例4-13 一系统的开环传函为 (2)分析系统稳定性 0＜K＜3 (3)由ζ=0.5确定闭环主导极点s1,s2的位置 -1 -2 -0.42 j1.414 k=6 k=6 -j1.414 60° 用根之和公式，计算s3： -0.33-j0.58-0.33+j0.58+ s3 =0-1-2 , s3 =-2.34 ∵2.34/0.33=7 ,∴由闭环主导极点s1,s2确定响应 -1 -2 -0.42 j1.414 k=6 k=6 -j1.414 60° 本章小结: 本章介绍了根轨迹的概念、 绘制根轨迹的基本规则， 增加系统开环传递函数的零、极点对根轨迹形状的影响 利用根轨迹对系统性能进行分析的方法。 根轨迹：当系统中某个（或几个）参数从0到+∞变化时，系统闭环特征方程的根（即闭环极点）在根平面（S平面）上描绘的一些曲线。（根轨迹方法是一种图解方法） 在S平面上标出相应的s1, s2点,并将所有的S点连接起来则或为闭环特征根随系统增益K变化的根轨迹,如图 系统开环传递函数G(s)H(s)通常是两个多项式之比,它等于系统各部分传递函数之积。因此可改写为 根据根轨迹的定义,当系统增益K值由0→∞ 时,根轨迹的起点必为K=0时的闭环特征根,而终点则为K→∞时的闭环特征根。 2. 根轨迹的分支数根轨迹的每一个分支表示了闭环系统的一个特征根当增益K改变时在S平面上的运动轨迹,因而根轨迹的分支数等于特征方程的阶次。而每一开环极点是不同分支的起始点,所以,根轨迹的分支数等于开环极点数。 3. 根轨迹的对称性由特征方程１+G(s)H(s)=0,其特征根或是实根或是复根。若是实根,则在实轴上;若是复根则必是复平面上对称实轴的共轭复数点。因此可得出根轨迹或是在实轴上,或是对称于实轴。 4. 实轴上的根轨迹 实轴上试探点s1,它在根轨迹上的充分必要条件是它满足幅角条件。复数极点必是共轭成对的,它们至s1点的幅角和恒为±180°(2k)。因此实轴上根轨迹的分布只取决干实轴上极点、零点的分布。试探s1点右边的零点、极