教案--20111031-3复习课：均值不等式-学案.doc

尚师教育教师教案 课题 高1数学总结之不等式（2）：均值（基础）不等式 授课时间 年 月 日 星期 _______ _____时______分------______时_______分 教师 王鹏兴 学生 年级 高1 学科 数学 作业完成情况 教学内容 基础不等式及其应用 教学目标 利用基本不等式解决最值问题时，求的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。 当且仅当，即x＝2时取等号。 所以当x＝2时，的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 2. 凑项 例2. 已知，求函数的最大值。 解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。 ∵ ∴ 当且仅当，即时等号成立。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 3. 分离 例3. 求的值域。 解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。 当，即时 （当且仅当x＝1时取“＝”号）。 当，即时 （当且仅当x＝－3时取“＝”号）。 ∴的值域为。 评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换 例4. 已知，求的最小值。 解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。 当且仅当时取等号，由 即时，的最小值为。 解法2：将分子中的1用代换。 评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。 三、换元 例5. 求函数的最大值。 解析：变量代换，令，则 当t＝0时，y＝0 当时， 当且仅当，即时取等号。 故。 评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。 四、取平方 例6. 求函数的最大值。 解析：注意到的和为定值。 又，所以 当且仅当，即时取等号。 故。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 练习： 1：____________________。 2.已知函数 （1）当x0时，求函数最值 （2）当x0时，求函数最值 3.求证： 4.设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值； (2)当0a1时，求函数f(x)的最小值． 5、求的最小值。 （ = 2 ） 6、求的最大值。 （ = ） 引申、求函数 的值域。 （ [ - 1 ， ] ） 总结： 1、 技术处理： （二）、综合运用： 说明： 1、① ； ②； ③ ④；⑤若b0,则；⑥a0,b0,则；⑦若a0,b0,则； ⑧若，则。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。 例题5：已知正数、 满足 =1， 求 最小值； 例6、已知 求 的最小值。 解：由 ，于是≥ =，当且仅当 即时取“=” ∴的最小值是16。 另外也可由 = = … ≥ 来求得此最小值。 练习： 已知求的最小值为 求的最小值为 已知求的最小值为 。 4、已知求的最大值为 5、已知：求的最大值，并求出此时的的值。 6、已知：则函数的最大值。 7、函数y=在x1的条件下的最小值为为多少？此时x为多少？ ——打造课外辅导第一品牌 第 壹 页 共 2 页 教案编号：