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6 向量的混合积 两条异面直线的公垂线方程 两条异面直线 的公垂线 可以看作是过 的平面与过 的平面的交线，即 过公垂线 和 上的 的平面方程为 过公垂线 和 上的 的平面方程为 于是公垂线 的方程为 数学竞赛强化讲义 空间解析几何 杨建新 数学竞赛强化 空间解析几何部分 一、向量代数 和 1、已知任意两点 则向量 2 已知向量 则 （1）向量 的模为 （2） （3） 3 向量的内积 （1） （2） 其中 为向量 的夹角，且 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线 与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4 向量的外积 注意 5、（1） （2） 1 设 是单位向量, 则以 为邻边的平行四边形的面积为___________ 解 平行四边形的面积 设 混合积的应用: 四点共面， 三矢量共面， 平行六面体的体积， 异面直线之间的距离。 可推出向量 共面。 向量当且仅当存在 使得 若 不是共线向量, 是 平面上的一个 2 已知 为四个共面向量，且 不共线，如果 证明 证明 由于 共面,且 不共线,于是存在 使得 由于 共面,且 不共线,于是存在 使得 由 得 由 得 而行列式 而 又 不共线, 于是系数行列式不为0,因此方程组有唯一的解.即 ,于是 平面内求一个与 垂直的单位向量。 3 设 试在 决定的 解 设 是 决定的平面内与 垂直的向量,则 于是 取 得 于是所求得向量为 4 已知 ，证明 1 共面。 2 证明 若 是 的向径，则 共线。 共面。 2 由于 于是 共线。 证明 1 两边与 ，于是 作点乘得 5 已知 求 解 原式 6 若 求 解 由于 于是 推出 因此 7 设向量 互不平行向量， 且 证明 于是 同理 于是 分线上，且 ，求 8 向量 在 的角的平 解 设 于是 由已知 因此 9 设 是非零常向量, 则 解 10 设 三边向量 求角的平分线向量 解 因为 于是 因而 11 设四面体有两对对棱相互垂直，则第三对棱也 相互垂直。且三对对棱的平方和相等。 证明 设A是四面体的顶点， 已知 于是有 即 于是 因此 且 类似 于是 12 已知四面体 的三条棱 求棱 的距离。 解 棱 的距离 作一个平面，试正这些平面有一个公共点K， 已知 求 13 已知四面体 中，过每条棱及对棱中点 解 设 M是AB的中点，N为CD的中点， 先猜出K 的位置，若 为四个质量为 的质点， 则其重心在M，N的连线中点K，于是若四个顶点 的坐标若为 ，则由中点公式 K的坐标为 （由于M, N点的坐标可求，于是K的坐标也可求出） 于是 于是 平面方程的各种形式 已知平面的法向量 过点 则 平面方程为 平面的一般方程 平面的截距式方程: 二 直线和平面 直线的标准方程 过 (a, b, c)，方向数为 s = {m, n, p} 直线的方程为 称为直线的参数方程。 称为直线的一般方程 L的方程。 14 设直线L通过 且与 相交，又与 垂直，求直线 解 设交点坐标为 由于 由（1）（2）可得 即 即 （2） 15 已知点 和直线 求P关于 此直线的对称点的坐标。 解 设对称点为 于是 16 求原点关于平面 的对称点。 解 平面的法向量为 由于对称点P与原点所在的直线垂直于平面， 于是OP的方程为 设 OP中点 在平面上，于是 17 已知 (1) 一镜面放在 上,现在从A发射一束光线至镜 面P点处,其反射光线经过B点, 试求P的位置. (2) 在 上求一点P使得 最小. 解 设 关于平面 的对称点 则 的方程为 参数方程为 代入 的方程得 于是 于是交点 ,从而 于是 其方程为 于是 因此 经过平面 反射后反射光线的方程. 18 入射光线的方程为 求该光线 解 直线参数方程为 代入 的方程 得 ,于是直线与平面的交点为 关于平面 的对称点 , 于是 于是反射光线为 19 设平面 垂直于平面 , 且通过从点 到直线 的垂线 求平面 的方程。 解 设平面 的方程为 由于平面 垂直于平面 ，因此 即 又平面 通过点 ，于是 下面求P在 上的垂足 注意到 的标准方程为 过P且与 垂直的平面 方程为 与 的交点为 由于 在平面 上，于是 于是得 , 平面 的方程为 20 设平面 与XOY平面的交线为 且与坐标平面围成的四面体的体积等于2，求