有限元教程3.ppt

第三章、杆系结构有限元 整体坐标系下单刚： 各元素物理意义? 总刚组装－子矩阵下标对号入座 总刚组装的物理意义：力的叠加（平衡） ① ② ③ ① ② ③ 3.1.7 位移边界条件处理 1、引入边界条件的目的：消除刚度矩阵的奇异性； 2、消除结构的任意刚体位移； 3、使结点位移有唯一解。 单元刚度矩阵的性质： 1、对称性 ？ 2、奇异性(支座有任意位移) 3、对角占优 4、稀疏性 一、删行删列法 1 2 3 4 缩减后的平衡方程 缩减后的平衡方程 二、乘大数法 删行删列法的缺点：需要数组空间置换，在计算机内不便实现。手工计算中可以应用。 已知 ×N （ N=∞） δ0×N.krr * 杆系结构特点： 具有有限个自然结点（桁架－二力杆端铰结点；刚架－转折点、集中荷载作用点、截面突变点等） §3.1 杆单元 3.1.1一般规定 3.1.2 位移函数 3.1.3几何与物理关系 3.1.4 平衡关系－单元刚度矩阵 3.1.5 坐标变换 3.1.6 整体分析－总体刚度矩阵 3.1.7 位移边界条件处理 3.1.8 方程求解 x y z 3.1.1一般规定 i j 坐标系：右手准则 正向：单元起点→终点 l (u) (v) (w) 3.1.2 位移函数 对于杆单元，只有轴向位移产生内力，垂直于杆轴向的位移不产生内力 杆端位移已知，杆内位移必然线性变化，设： ？ 描述杆内任意一点位移的函数 写成向量的形式 结点位移向量 结点形状函数 形函数矩阵 形函数的说明： 1、形函数将结点位移与杆单元内位移联系起来； 2、其中每个元素仅为坐标的函数； 3、杆内每点位移为形函数与结点位移的线性组合（反映了单元内位移分布形态－形状函数名称的由来）； 4、形函数物理含义： 当本结点位移为1，其他结点为0时，单元内任何一点的位移值 i j 1 形函数性质： 1、形函数在本结点为1；其他结点为0 2、所有形函数之和为1（在任意点） 3.1.3几何与物理关系 改写为 根据物理关系： 用矩阵表示： 3.1.4 平衡关系－单元刚度矩阵 应用最小势能原理，得到结点力与结点位移之间的关系 最小势能原理：在外力作用下，弹性体产生变形。变形不是任意产生的，应使整个系统的总势能最低。 系统总势能： 系统势能最低 [K]e 3.1.5 坐标变换 结构分析的目的在于分析整个结构的应力、变形，需要在统一的坐标系下将各个单元建立联系。 坐标变换 以平面问题为例： 坐标变换矩阵 正交矩阵性质： 局部坐标系向整体坐标系的转换关系 不同坐标系下单元结点力的关系： 整体坐标系下的平衡方程： 单刚中的元素与意义： 局部坐标系下，只有轴向位移引起单元内力 对称 平面杆系结构坐标变换-总结： 练习1： 一平面杆系结构，整体坐标系及(4)号杆件的局部坐标情况如下图。杆件的抗拉刚度为 在整体坐标系中，i结点的坐标为(3,0),位移为{0.02 0.03}T；j结点坐标为(6,3)、位移为{-0.04 0.05}T 求：杆件轴力 三维杆件结构坐标变换矩阵？ 3.1.6 整体分析－整体刚度矩阵 整个结构也应处于平衡状态： 1 2 3 4 单刚： 1 2 3 4 坐标变换矩阵？ 局部坐标系下单刚： 1 2 3 4 *