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椭圆练习题答案
椭圆练习题答案
选择题
1、[2012·浙江卷8] 如图1-3,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
图1-3
A.3 B.2 C. D.
B [解析] 本题考查了椭圆与双曲线的简单几何性质,考查了学生对书本知识掌握的熟练程度,属于送分题.设椭圆、双曲线的方程分别为 + = 1(a1b10),
-=1(a20,b20),由题意知c1=c2且a1=2a2,则===2.
2、[2012·课标全国卷] 设F1,F2是椭圆E:+=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
C [解析] 根据题意直线PF2的倾斜角是,所以a-c=|PF2|=|F1F2|=×2c,解得e=.故选C.
3、[2012·上海卷] 对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
B [解析] 考查充分条件和必要条件,以及椭圆方程.判断充分条件和必要条件,首先要确定条件与结论.
条件是“mn0”,结论是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”, 方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,可以得出mn0,且m0,n0,m≠n,而由条件“mn0”推不出“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”.所以为必要不充分条件,选B.
4、椭圆+=1(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.-2
B [解析] 由椭圆的定义知,|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.∵|AF1|,|F1F2|,|BF1|成等比数列,因此4c2=(a-c)(a+c),整理得5c2=a2,两边同除以a2得5e2=1,解得e=.故选B.
5、在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
所以四边形ABCD的面积为S=|AC||BD|=10.故选B.
6、[2011·湖南卷] 已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为________;
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________.
课标文数15.H4,K3[2011·湖南卷] (1)5 (2)
【解析】 (1)圆心到直线的距离为:d==5;
图1-4
(2)当圆C上的点到直线l的距离是2时有两个点为点B与点D,设过这两点的直线方程为4x+3y+c=0,同时可得到的圆心到直线4x+3y+c=0的距离为OC=3,
又圆的半径为r=2,可得∠BOD=60°,由图1-2可知点A在弧上移动,弧长l=×c=,圆周长c,故P(A)==.
7、设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于( )
A.或 B.或2 C.或2 D.或
课标理数7.H5,H6[2011·福建卷] A 【解析】 设|F1F2|=2c(c0),由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,得|PF1|=c,|PF2|=c,且|PF1||PF2|,
若圆锥曲线Γ为椭圆,则2a=|PF1|+|PF2|=4c,离心率e==;
若圆锥曲线Γ为双曲线,则2a=|PF1|-|PF2|=c,离心率e==,故选A.
填空题
1、[2012·四川卷] 椭圆+=1(a为定值,且a)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是________.
15. [解析] 如图,设椭圆右焦点为F′,直线x=m与x轴相交于C,
由椭圆第一定义,|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a,
而|AB|=|AC|+|BC|≤|AF′|+|BF′|,
∴当且仅当AB过F′时,△ABF周长最大.
此时,由|AF|+|AB|+|BF|=4a=12,
得a=3,进而c==2,
∴椭圆离心率为e==.
2、若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.
课标理数14.H5[2011·江西卷] 【答案】 +=1
【解析】 由题可知过点与圆x2+y2=1的圆心的直线方程为y=x,由垂径定理可得kAB=-2.
显然过点的一条切线
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