概率论与统计2-4.ppt

2.4 事件的独立性 引例 性质 3.n 个事件的独立性 练习 内容小结 * * 2.4.1 两个事件的独立性 由条件概率，知 一般地， 这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率有影响. 然而，在有些情形下又会出现： 则有 定义2.4.1 注. 1o 说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关. 2o 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念. 两事件相互独立 两事件互斥 例如 二者之间没 有必然联系 独立是事件间的概率属性 互斥是事件间本身的关系 1 1 由此可见两事件相互独立但两事件不互斥. 两事件相互独立 两事件互斥. 可以证明： 特殊地， A与B 独立 ? A与B 相容( 不互斥) 或 A与B 互斥 ? A与B 不独立 证 若A与B 独立, 则 即 A与B 不互斥(相容). 若A与B互斥，则 AB = ? B发生时，A一定不发生. 这表明: B的发生会影响 A发生的可能性(造成A不发生), 即B的发生造成 A发生的概率为零. 所以A与B不独立. 理解: S B A (1) 必然事件S 及不可能事件?与任何事件A相互独立. 证 ∵ SA=A, P(S)=1 ∴ P(SA) = P(A)=1? P(A)= P(S) P(A) 即 S与A独立. ∵ ?A=?, P(?)=0 ∴ P(?A) = P(?)=0= P(?) P(A) 即 ?与A独立. (2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件 也相互独立. ① ② ③ 证 ① 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭. 又∵ A与B相互独立 ③ 例1 将一枚均质硬币掷两次，令A={第一次出现正面H}，B={第二次出现正面H}，试验证A、B相互独立． 解 样本空间S={HH, HT, TH, TT}共含有4个基本事件，它们发生的概率均为1/4．而A={HH, HT}，B={HH, TH}，AB={HH}，故有 P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ， 所以A、B相互独立． 例2 甲, 乙两人同时向敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率. 解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 } C={敌机被击中 } 依题设, ∴ A与B不互斥 ( P(A)+P(B)=1.11≥P(A+B) ) 由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立,进而 = 0.8 1. 三事件两两相互独立的概念 2.4.2 多个事件的独立性 定义 2. 三事件相互独立的概念 定义 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件， 若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1 i 2 ··· i k≤n 定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件相互独立，即对于一切 1 ≤i j ≤n, 有 定义 注. 设一个口袋里装有四张形状相同的卡片.在这四张卡片上依次标有下列各组数字：110，101，011，000.现从袋中任取一张卡片，记 证明： 证 (1) 110，101，011，000 两个结论 n 个独立事件和的概率公式: 设事件 相互独立,则 也相互独立 即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积. 结论的应用 则“ 至少有一个发生”的概率为 P(A1?…?An) =1- (1-p1 ) …(1-pn ) 若设n个独立事件 发生的概率 分别为 类似可以得出： 至少有一个不发生”的概率为 “ =1- p1 … pn 例3 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率. 解 则 依题设， 事件的独立性在可靠性理论中的应用： 一个元件的可靠性： 该元件正常工作的概率. 一个系统的可靠性： 由元件组成的系统正常工作的概率. 例4 设一个系统由2n 个元件组成，每个元件的可靠性均为 r，且各元件能否正常工作是相互独立的. (1) 求下列两个系统Ⅰ和Ⅱ的可靠性； (2) 问：哪个系统的可靠性更大？ 系统Ⅰ. 系统Ⅱ. 解 设 B1={ 系统Ⅰ正常工作} ① ② … n+2 2n n+1 … 1 2 n … n+2 2n n+1 1 2 n B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ： 设 C ={ 通路①正常工作 }， D={ 通路②正常工作 } ∵ 每条通路正常工作 通路上各