相似三角形经典动态问题.doc

相似三角形经典动态问题 已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒. (1)填空：菱形ABCD的边长是 、面积是 、 高BE的长是 ； (2)探究下列问题： ①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值。 ②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边 形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时声母OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q． （1）四边形的形状是 ，当α=90°时，的值是 ． （2）①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求的值; ②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积． （3）在四边形OABC旋转过程中,当时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 （1）5 , 24, （2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t. 如图1,过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得 △AQG∽△ABE,∴, ∴QG=, ∴(≤t≤5). ……1分 ∵(≤t≤5). ∴当t=时，S最大值为6 ② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组 成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可. 当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP= 以下分两种情况讨论: 第一种情况：当点Q在CB上时, ∵PQ≥BEPA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P. 如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点 F,则AM=.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得 , ∴, ∴. ∴CQ1==.则, ∴ 第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3, 分别使A P= A Q2,PA=PQ3. ①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6. 则,∴.……1分 ②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N， 由△ANP∽△AEB,得. ∵AE= , ∴AN＝. ∴AQ3=2AN=, ∴BC+BQ3=10- 则.∴. 综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或. （1）矩形（长方形） （2）①，， ． ，即， ，． 同理， ，即， ，． ． ②在和中， [来源 ． ． 设，[来源:学科网] 在中， ，解得． ． （3）存在这样的点和点，使． 点的坐标是，． 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点画于，连结，则， ，， ． 设， ， ， 如图1，当点P在点B左侧时， ， 在中，，[来源:学科网ZXXK] 解得，（不符实际，舍去）． ， ． ②如图2，当点P在点B右侧时， ，． 在中，，解得． ， ． 综上可知，存在点，，使． 1 (第1题) Q C B A O x P y H Q C B A O x P y H