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离散数学练习
《离散数学》综合练习题
一、判断题
(正确)1.命题逻辑中任何命题公式的主析取范式如果存在一定是唯一的。
(错误)2.A、B、C是任意集合,如果A(B及B(C,则A(C。
(错误)3.整数集是不可数集。
(错误)4.实数集是可数集。
(正确)5.代数系统S,*中,如果二元运算*是封闭的、可结合的,则S,*是半群。
(正确)6.任意平面图最多是四色的。
(正确)7.A、B是任意命题公式,如果(A((B,一定有A(B。
(正确)8.R是集合A上的二元关系,若R是反自反的,则Rc也是反自反的。
(错误)9.任何阿贝尔群必是循环群。
(正确)10.一个地图中相邻国家着以不同颜色,最多需用四种颜色。
(正确)11.每个有向图中,结点入度数总和等于结点出度总和。
(正确)12.图G的邻接矩阵A,Al中的i行j列表示结点vi到vj长度为l路的数目。1)只要不下雨,他就骑自行车上班2)他或者骑自行车上班,或者乘公共汽车上班解:1)(P( Q 2) Q ( R 或 (Q((R)(((Q(R)
设A={1,{1}},计算P(A)-{(}
解:P(A)={(,{1},{{1}}, {1,{1}}} P(A)-{(}= {(,{1},{{1}}, {1,{1}}}-{(}={{1},{{1}}, {1,{1}}}
设代数系统A,*,其中A={a,b,c},*是A上的二元运算,运算表如下表,求该代数系统的幺元,所有可逆元素的逆元。
* a b c a a b c b b c a c c a b 解:幺元为:a,b的逆元为c,c的逆元为b。
设集合A有3个元素,B有4个元素,则A到B的关系有多少个?A到B的函数有多少个?
解:1)A到B的关系有212个。 2)A到B的函数有43个。
判断公式( (P(Q)(( (P(Q)的类型(重言式、矛盾式、可满足)
解:原式(((P(Q)( (Q(P)) ( ((P((Q) ((((((P(Q)( ((Q(P)) ( (( P((Q)( (((P(Q)( ((Q(P))((( P((Q)(((P(Q(( P((Q)( ((Q(P(( P((Q)(T(T(T所以公式为重言式
设A={(,{1}},计算P(A)-{(}
解:P(A)={(,{(},{{1}}, {(,{1}}}P(A)-{(}= {(,{(},{{1}}, {(,{1}}}-{(}={{(},{{1}}, {(,{1}}}
设树T有17条边,除树根外有12片树叶,4个4度结点,1个3度结点,求树根的度数。
解:设树根的度数为x,因为有17条边,所以结点数=17+1=18,由握手定理得:
12*1+4*4+1*3+1*x=2*17解得x=3
所以树根度数为3。
求命题公式((P(Q)的主合取范式。
解:((P(Q)((((P(Q)(P((Q
((P((Q((Q))(((P((P)((Q)
((P(Q)((P((Q)(((P((Q)
求命题公式P((P(Q)的主析取范式。
解:原式(P(((P(Q)((P((P)((P(Q)(P(Q
四、证明题
构造下面推理的证明
((x)(P(x)((Q(x)(H(x))),((x)(P(x)(R(x)) (((x)(P(x)(Q(x)(R(x))
证明:(1) ((x)(P(x)(R(x)) P (2) P(a)(R(a) ES(1) (3) P(a) T(2)I (4) ((x)(P(x)((Q(x)(H(x))) P (5) P(a)((Q(a)(H(a)) US(4) (6) Q(a)(H(a) T(3)(5)I (7) Q(a) T(6)I (8) R(a) T(2)I (9) P(a)(Q(a)(R(a) T(3)(7)(8)I (10) ((x)(P(x)(Q(x)(R(x)) EG(9)
设G,*是一个独异点,并且对于G中的每一个元素x都有x*x=e,其中e是幺元,证明G,*是一个阿贝尔群。
证明:G,*是独异点,*运算封闭,且满足
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