第4章_矩阵的对角化与二次型的化简习题解答.doc

习题4 4-1.设有一个特征值2，求的一个特征值． 解 若的特征值为，则的特征值为， 计算得. 4-2.设是3阶方阵，已知方阵，，都不可逆，求的全部特征值． 解 由，，都不可逆，知 ，即，, 得的特征值为． 4-3.已知矩阵的特征值为，，求． 解 由特征值的性质知 ，即 ，所以． 4-4.求下列矩阵的特征值及对应的线性无关的特征向量．若可以对角化，求出可逆矩阵，使为对角矩阵： （1）． 解 由特征方程 , 解得矩阵的特征值. 对于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ， 所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为 ． 对应于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ， 所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为 ． 对应于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ， 所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为 ． 有3个线性无关的特征向量 ，，， 所以可以对角化． 令 ， 则可逆，且有 ． （2）. 解 由特征方程 , 解得矩阵的特征值． 对应于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ， 所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为 ． 对于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ， 所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为 ． 只有2个线性无关的特征向量，所以不可对角化． （3）． 解 由特征方程 , 解得矩阵的特征值． 对应于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ，， 所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为 ，. 对于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ， 所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为 ． 有3个线性无关的特征向量，所以可以对角化， 令 ， 则可逆，且有 ． 4-5.判断下列矩阵是否为正交矩阵： （1）． 解 令 ， 由于，所以不是正交矩阵． （2）． 解 因为 ， 故是正交矩阵． 4-6.求正交矩阵，使为对角形矩阵： （1）． 解 由特征方程为 ， 得的特征值为． 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个极大线性无关特征向量组 ，, 将正交化，得 ，， 将标准化，得 ，， 令 ， 则为正交矩阵，且有． （2）． 解 由特征方程为 ， 得的特征值为． 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的线性无关的特征向量为 ， 已正交只须将单位化，得 ，； 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的线性无关特征向量 ， 将单位化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的线性无关特征向量 ， 将单位化，得 ， 令 ， 则为正交矩阵，且有. 4-7.用正交变换化下列二次型为标准形式： （1）. 解 二次型的系数矩阵为 ， 矩阵的特征方程为 ， 故的特征值为． 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 令 ， 则通过正交变换 即可将二次型化为标准形式. （2）. 解 二次型的系数矩阵为 ， 矩阵的特征方程为 ， 故的特征值为． 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 令 ， 则通过正交变换 即可将二次型化为标准形式. （3）． 解 二次型的系数矩阵为 ， 矩阵的特征方程为 ， 故的特征值为． 对于，解方程组 ， 即 , 得属于特征值的线性无关的特征向量为 ，，， 将正交化，得 ，，， 将正交化，得 ，，. 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 令 ， 则通过正交变换 即可将二次型化为标准形式. 4-8.试证：如果为正定矩阵，则也是正定矩阵． 证 因为为正定矩阵，则为是实对称矩阵， 而 ， 所以也是对称矩阵. 设的特征值为，则的特征值为 因为为正定矩阵，所以，故，从而知也是正定矩阵. 4-9.判别下列二次型是否正定或负定： （1）. 解 二次型的系数矩阵为 ， 二次型的三个顺序主子式 ， 所以二次型是正定的. （2）. 解 二次型的系数矩阵为 ， 二次型的三个顺序主子式 ， 所以二次型是负定的. （3）. 解 二次型的系数矩阵为 ， 二次型的四个顺序主子式 所以二次型是不定的. （4）. 解 二次型的系数矩阵为 ， 二次型的四个