第6章数值积分2.ppt

第6章 数值积分 §6.1 插值型求积方法 §6.2 复化求积方法 §6.3 龙贝格(Romberg)求积方法 §6.4 数值微分 §6.1.1 引言 在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x)在区间［a, b］ 上连续且其原函数为F(x) ，则可用牛顿―莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式 积分计算中的特殊情况： (1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简单的函数,例如 等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。 积分计算中的特殊情况： (2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关系由表格或图形表示,无法求出原函数。 积分计算中的特殊情况： (3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式相当复杂。例如定积分 的原函数就比较复杂,从数值计算角度来看,计算量太大。 怎样利用数值方法进行积分计算？ 数值积分的基本思想 插值多项式 插值:定义在区间[a,b]上的函数f(x)，可以通过区间上n+1个互异节点(xk,f(xk))的n次插值多项式Pn(x)来近似代替(以拉格朗日插值为例)： §6.1.3 Newton-Cotes 积分 小结 数值积分的基本思想； 插值型积分公式； Newton-Cotes公式； 常用的低阶Cotes公式； 误差与代数精确度； 6.2 复化求积公式 复合Simpson公式 上图描述了任意长度的区间x划分为n-1个等长子区间的情况。复合公式由每个小段基本公式相加得到。为此必须有偶数个宽度为h的子区间。复合Simpson公式要求n-1是偶数，故节点总数n为奇数。 为了便于推导，将区间[a,b]分成n=2m等分，分点为xk=a+kh(k=0,1,…n),h=(b-a)/n，在每个小区间[x2k-2,x2k]上，用Simpson公式求积分，则有 例：若用复化求积公式计算积分的近似值，要求计算结果有四位有效数字，n应取多大？ 解：当x在区间[0,1)内有 后验误差判定 6.5 Gauss数值求积法 6.5 Gauss数值求积法 复合求积公式的余项分别为 6.4 龙贝格积分 定义1. 不难知道,复合梯形、Simpson、Cotes公式的收敛阶分别为 2阶、4阶和6阶 由复合梯形公式的余项公式 可得 复合Simpson公式！！！ 因此由复合Simpson公式的余项 可得 即 当然 令 即 当然 同样由复合Cotes公式的余项 得 令 外推 加速 公式 以上整个过程称为Romberg算法 将 上 述 结 果 综 合 后 其中外推加速公式可简化为 Romberg算法的收敛 阶高达m+1的两倍 Romberg算法求解步骤 Romberg算法的代 数精度为m的两倍 龙贝格求积公式 例6 用龙贝格算法计算积分 的近似值，要求ε≤10-5。 解 ，a=0, b=1 (1) (2) k=1, n=21=2 龙贝格求积公式 (3) k=2,n=22=4 (4) k=3,n=23=8 或 龙贝格求积公式 龙贝格求积公式 例7 用龙贝格算法计算积分 的近似值，要求ε≤0.5X10-6。 解 (1) (2) k=1, n=21=2 龙贝格求积公式 (3) k=2,n=22=4 (4) k=3,n=23=8 龙贝格求积公式 输入a，b，f(x)，ε。 置h=b-a，T0(0)=0.5h[f(a)+f(b)]，k=1 计算 对j=1,…k 若 ，输出Tk(0)；否则，h=h/2， k=k+1，返回步骤3 1、系数Ak如何选取，即选取原则 2、若节点可以自由选取，取什么点好？ 两个问题 插值型求积公式 辛普生公式至少有3次代数精度。 对f(x)=x4, 所以，辛普生公式仅具有3次代数精度。 例3 考察求积公式 具有几次代数精度。 解 f(x)=1时， 左边= 右边= 插值型求积公式 右边= f(x)=x2时， 左边= 右边= 所以，此求积公式仅具有1次代数精度。 此公式不是插值型的。 f(x)=x时， 左边= 插值型求积公式 代数精度 N-C公式的实质是利用n阶多项式作为原函数的近似，在积分范围内求积得到的。所以如果原函数为不大于n阶的多项式函数，则其积分误差为0，具有至少n阶代数进度。 定理6.1 2n阶的Ｎ－Ｃ公式具有至少２ｎ＋１次代数精度。 代数精度 令ｘ=a+nh+th代入上式 奇函数 低阶Newton-Cotes公式及其误差