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线性代数ch2-第8讲
第讲
教学目的要求:掌握逆矩阵的概念、性质以及逆矩阵的求法。
主要内容:逆矩阵的概念;逆矩阵的性质;逆矩阵的求法重点难点 :逆矩阵的性质和求法教学手段:多媒体教学(电子教案及粉笔、黑板的有机结合)
教学时数:2学时
第章 矩阵 §2.5 逆矩阵
定义.14 对于n阶方阵A,如果存在n阶方阵B,使得
AB=BA=E
则称A为可逆矩阵,简称A可逆,并称B为A的逆矩阵。
用表示A的逆矩阵,即
由定义1.14可看出:
1.可逆矩阵是对方阵而言的,若A不是方阵,则一定不可逆。
2.由于在等式AB=BA=E中,矩阵A与矩阵B的地位相同,因此,若A可逆,B是A的逆矩阵,则B也可逆,且A是B的逆矩阵。即有:
3.若n阶方阵A可逆,则A的逆矩阵是唯一的。
因为若B,C都是A的逆矩阵,即AB=BA=E且AC=CA=E,则必有
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C
4.若A可逆,则存在,使 成立。
定义.15 设是n阶方阵的行列式中元素的代数余子式,用表示由构成的n阶方阵的转置,即
称为矩阵A的伴随矩阵。
由§1.的行列式按行展开公式,可得
同理,利用行列式按列展开公式,可得
即任一方阵A与其伴随矩阵有以下关系:
(2.2)
由此我们得
定理 n阶方阵A可逆的充要条件是A非奇异。且当A可逆时,
推论 设A,B为同阶方阵,且满足AB=E,则A,B都可逆,且
例1 判断矩阵是否可逆,若可逆,求其逆。
解 因为, 所以A可逆,且由
即
,
得 .
可逆矩阵的运算有以下性质:
性质1 设A可逆,则A的逆矩阵可逆,且
性质2 若A,B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且
性质3 若A可逆,则可逆,且.
性质4 若A可逆,数,则k A 可逆,且性质5 若A可逆,则
注意:
当A,B可逆时,A+B不一定可逆。
当A,B,A+B均可逆时,一般情况下,.设对角矩阵
,,
证明A可逆,且
证明 取,则
由定理的推论知,A可逆,且
例 设方阵A满足方程。证明:A+2E可逆,并求其逆。
证明 把方程恒等变形为,
即,由此得
由定理1.2的推论知,A+2E可逆,且
例 设A为n阶方阵,证明
证明 因为A与满足关系式
(1)若 ,即A可逆,方程两边左乘,可得
于是
(2)若,则有,由此可得。
这是因为若,即A*可逆,
方程两边右乘,可得
再由定义1.15知,A*=O,与A*可逆矛盾。
所以,若,就有,此时,成立。
综上所述,有.
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