车辆控制理论教材第二章.doc

第二章 状态空间法 现代控制理论的研究方法是状态空间法。现代控制理论的分析与设计方法以及整个的理论体系都是建立在状态空间法的基础上。 本章介绍状态空间法的基本内容。 概述 一、状态空间法的提出 在经典控制理论中，常采用传递函数作为系统的数学模型，如图2-1（a）所示。传递函数表达的是系统单输入与单输出之间的关系，它消除了中间变量，未提供系统的内部状态的必要信息，描述的只是系统的端部特性。但是具有相同端部特性的系统，其结构特性可并非总是一样的，只知端部特性也不能充分了解一个系统的运动状况。因此，用传递函数作为系统的描述有时是不完整的，对掌握系统的全体性质往往也是不够的。 图2-1 传递函数法与状态空间法的比较 (a)传递函数法 (b)状态空间法 现代控制理论研究高阶的复杂的多输入－多输出系统，如图2-1（b）所示，将多输入与多输出之间的信号传递关系，分成动态部分与测量部分两个部分。动态部分揭示了系统的内部状态的变化；而测量部分则给出了系统状态与输出之间信号静态传递关系。可以将系统的微分方程归结为一阶线性微分方程组，这种方程及其解的形式简单、直观，便于采用矩阵方法及计算机进行分析、设计，便于进行实时控制，这就是状态空间法的基本思想。 显然，状态空间法不仅可以表示系统多输入和多输出之间的外部关系，还能表示出系统内部全部状态和特性；系统输入与状态，状态与输出的关系可以用简单的矩阵方程来表示，不会因系统输入、输出数目的增多而增加其形式上的复杂性；便于用计算机进行分析、设计与实时控制。因此状态空间法是一种更全面描述系统特性的较好的方法。 二、几个术语 下面对状态空间法中常用的几个术语下定义。 1、状态 系统的状态就是指系统的过去、现在和将来的状况。当系统的所有外部输入已知时，为确定系统未来运动所必要与充分的信息的集合叫做系统的状态。 我们知道，系统在的状态，由时的状态和时的输入唯一确定，而与时刻以前的状态和输出无关。因此系统的状态也就是指能够完全描述系统的一个最少变量组。这里的“完全”表示反映系统的全部状况；“最少”表示确定系统的状况无多余信息。 2、状态变量 状态变量是指完全描述系统行为的最少变量组中的每一个变量。例如，构成的变量组可以完全描述系统的行为，则其中的每一个变量 便是一个状态变量。状态变量一般是时间的函数。 对于一个系统来说，状态变量的选取不是唯一的，应根据具体情况来确定，但在实用中，多选择容易测量的量作为状态变量。在液压系统和机械系统中常采用系统中各点的流量、压力、位移、速度、加速度以及它们的导数作为状态变量；在电学系统中，常以电压、电流、电荷、磁通等以及它们的导数来作为状态变量。从物理上解释，系统的状态变量的个数仅等于系统包含的独立储能元件的个数，因此一个阶系统仅有个状态变量可以选择，状态变量之间最大线性无关组即为完全描述系统行为的最少变量组。 3、状态向量 以系统的一组状态变量为分量所构成的向量称为状态向量。记为 当给定了的输入和起始时刻的状态，则状态向量就能唯一地确定任何时系统的状态。 4、状态空间 把个状态变量分别作为维空间的坐标轴，则此空间称为维状态空间。系统的任一状态可以用状态空间的一个点来表示。 5、控制系统的三种类型变量 图2-2为现代控制理论研究的控制系统，其中的变量可分为三种类型：输入变量，输出变量和状态变量。 图2-2 控制系统的三种类型变量 输入变量是给系统的行为予以不同的影响；输出变量与控制系统的要求直接有关；状态变量则反映了系统内部的时域特性且和输入、输出变量相关联。只要弄清楚这三个变量的变化及其相互关系，就可以掌握系统的各种特性。 需要注意的是，系统的输出变量和输入变量是两个完全不同的概念。输出变量可以是某个状态变量，但状态变量是描述系统行为的信息，而输出变量是人们希望从系统中获得的响应。 系统的状态空间表达式 一、状态方程和输出方程的概念 为了分析动态系统的运动，首先需要建立系统的微分方程。对于经典控制理论需要从系统的微分方程出发，建立输入和输出之间的传递函数；同样，对于现代控制理论也要从系统的微分方程出发，建立输入与状态及状态与输出之间的状态空间表达式，即建立系统的状态方程和输出方程。这是对系统进行研究所必需的一步。 由状态变量的定义可知，系统在某时刻的状态是由时刻的初始状态向量和到时刻加在系统上的输入向量所唯一确定，于是可写出系统的状态方程 （2-1） 式中，为初始状态向量，； 为从到的输入向量，； 表示一个单值向量函数。 类似地可以写出在时刻的输出向量与输入向量及状态向量的关系，即系统的输出方程