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证明平移不变性： 例题： 1 当 时 当 时 将上两式合并 其他 1.4.2 互相关 1.互相关的定义 两个函数 和 的互相关定义为含参变量的无穷积分，即 ☆ 或 ☆ 可实可复 实数 2.互相关的卷积表达式 ☆ 3.性质 相关运算不具有交换性 而有 证明：根据定义可写出 令： 则上式可写为： 当 和 皆为实数时，则有 （2） 证明：引用许瓦兹不等式 其中 和 一般为复常数。其中只有当 时才能取等号， 是复常数， 若令 则许瓦兹不等式具有下述形式 即 根据该不等式，可以认为以x,y为自变量的互相干函数 ， 描述了 和 两者之间的相关性。 对于任一给定的x,y来说 的数值可以用来估计这种关联性的强弱。 当 时， 可以合理的认为此时的 和 之间完全相关。实际上，这时 有最大值。 1.4.3自相关 1.定义 当 时，即得到函数f 的 自相关的定义式 ☆ 和 2.性质 （1）自相关 函数具有厄密对称性，即 当 是实函数时， 是偶函数，即 （2） 3.归一化互相干函数和自相关函数 这里假定 均存在。显然，对于自相关和互相关的函数有 4.关于自相关函数意义的说明 的自相关函数 可以用来 描述函数 和 之间的相关性。由于 是由 通过平移x,y距离而形成的，他们 之间的相关性，就反映了函数 变化的快慢。 1.4.4 有限功率函数相关 在互相关的定义中，要求函数绝对可积，但有些周期函数，平稳随机函数 并不满足这一条件，但却满足下述极限： 和 当系统中能量传递的平均功率为有限时，常用这类函数，称它们为有限功率函数，于是人们把函数 和 的互相关定义为 有限功率的自相关定义为 傅里叶变换的相关定理： 1、卷积定理 2、巴塞瓦定理 3、导数定理 * 公式无法显示 * 公式无法显示 由此我们可以认为，今后涉及到的函数都存在着相应的傅立叶变换，只有狭义和广义之分罢了。 2. 极坐标系中的二维傅里叶变换 （1）定义式： （2.）傅立叶----贝塞儿变换 在极坐标系内，圆对称函数的傅立叶正变换和逆变换的运算相同。人们称这种特殊形式的傅立叶变换称为傅立叶------贝塞儿变换。 1.3.3 广义傅里叶变换 1. 广义傅里叶变换的定义 举例： 考察符号函数sgn(x)的傅立叶变换。由于sgn(x)不满足绝对可积条件，无法确定其狭义傅立叶变换。为此选取适当的函数序列 根据广义傅立叶变换定义有： 根据 函数的定义式，可直接求出它的傅立叶变换 根据1.2.7式 函数的傅立叶变换是常数1 那么常数1 的傅立叶逆变换 是否为 。为此我们考察 在积分中的作用是否与 相同。 于是考察积分 其中 是一个具有傅立叶变换的函数 设 可以写成 所以： 类似地有 即 解决了常数的傅立叶变换问题 3.广义傅立叶变换举例 （1）阶跃函数的傅立叶变换 x y 0 1 -1 - 1.3.2 一维傅里叶变换的定义1. 从傅里叶级数演变为傅里叶变换 2. 一维傅里叶变换的定义 3 一维傅里叶变换举例 (1)矩形函数的傅里叶变换 § 1.4卷积和相关 x y o 2。一维实函数卷积的几何说明 我们可以注意到卷积运算的两个效应 （1）展宽效应 假如函数只在一个有限区间内不为零，这个区间可称为函数的宽度。一般来说，卷积函数的宽度等于被卷函数宽度之和。 （2）平滑效应 被卷函数经过卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑。在数学上有关卷积的一条定理说，在某些相当普遍的条件下，n 个函数的卷积，当 时，趋于高斯函数形式。 设 和 都是复值函数，因而有 第一章 线型系统分析 输入信号 输出信号 光学系统 线性 非线性 §1－1 常用非初等函数 在函数论中，将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数称为基本初等函数。而初