演示文稿线性代数.ppt

2.5 矩阵的转置 1. 定义 定义2.4 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的矩阵,叫做 A 的转置矩阵,记作 AT. 例如 第一章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 19 机动 目录 上页 下页 返回 结束 20 矩阵的转置 2.运算律 (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT+BT; (3) (kA)T =kAT; (4) (AB)T = BTAT. 这里仅证明(4) 设 A = ( aij )m×s , B = ( bij )s×n . AB = C = ( cij )m×n ， BTAT = D = ( dij )n×m. 显然，要证明（AB )T = BTAT, 只须证明 cji = dij即可. 因为 即 D=CT,也就是BTAT=(AB)T. 例2.6 已知 求 ( AB )T. 解法1 因为 解法2 有了转置矩阵的定义后，显然有 A为反对称矩阵，AT=-A. A为对称矩阵，则AT =A. 显然， 例2.7 试证任意n阶方阵都可分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和. 证 由于 A = ?(A + A + AT－AT ) = ?(A + AT + A－AT ) 故A等于对称矩阵 与反对称矩阵 之和. 23 2.6 方阵的行列式 1.定义 定义2.5 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素 的位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或detA. 2.运算律 (1) |AT|=|A|; (2) |λA|＝λ|A| (λ是数); (3) |AB|=|A||B|(A，B为方阵). 注意：方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是 n2个数按一定的方式排成的数表,而n阶行列式是这些数按 一定的运算法则所确定的一个数. 我们仅证明3），设A = (aij), B = (bij).记 2n 阶行列式 显然,D = |A||B| ，而在 D 中以b1j 乘第1列，b2j 乘第2 列,… ,bnj 乘第 n 列 ,都加到第 n + j 列上 ( j = 1 , 2 ,… ,n ) , 有 其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj , 再对 D 的行作 rj ? rn+j （j = 1, 2, … , n ），有 从而有 D = (－1)n|－E||C| = (－1)n(－1)n|C | = |C | = |AB|. 于是 故 C = AB. | AB | = | A | | B |. 例2.8 设A , B 均为 n 阶方阵,且 证明 则|A+B|=0. 小结： 1、计算矩阵的加减法时，要注意必须是同型矩阵. 2、计算矩阵的乘法时，要注意前一个矩阵的列数必 须等于后一个矩阵的行数，这样的两个矩阵才能相乘. 3、要注意矩阵的乘法不满足交换律. 作业：标准化作业本第一章作业. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 线性代数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 吉林大学 教 师 教 案 （2005 ~2006 学年第 一 学期） 课程名称： 年 级： 教 研 室： 任课教师： 吉林大学数学学院 第二章 矩阵 矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数学研 究的主要对象，也是数学许多分支研究及应用的重要工 具，它贯穿于线性代数的各个部分.在很多领域中的一些 数量关系都可以用矩阵来描述. 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算.并把向量是视为特殊的矩阵，自然地引进向量的概念及其线性运算.还将介绍矩阵的初等变换及分块矩阵等相关知识，为今后的学习打下扎实的理论基础. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2章 教学目的：通过本章的教学使学生了解矩阵的概念， 掌握矩阵的运算,认识矩阵在线性代数学中的地位与作用， 为今后的学习打好基础. 教学要求：理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的各种运算，会用矩阵解决各种实际问题.