简析以二次函数为背景的动态几何问题.doc

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简析以二次函数为背景的动态几何问题

简析以二次函数为背景的动态几何问题 赵春雷 【专题名称】初中数学教与学 【专 题 号】G352 【复印期号】2010年08期 【原文出处】《中学教研》(金华)2010年5期第44~47页 【作者简介】赵春雷,张家港外国语学校(江苏 张家港 215600)。 【关 键 词】EEUU ????动态几何问题以其丰富的特性频频亮相于中考试题,尤其是与二次函数的结合,更加增添了动态几何的“个性”魅力。现采撷2009年中考试题几例作一简析,供学习参考。 ????一、单动点与二次函数 ????例1 已知Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点C落在y轴正半轴上(如图1)。 ???? ????图1 ???? ????图2 ????(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。 ????(2)如图2,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连接DP交BC于点E。 ????①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标。 ????②连接CD、CP(如图3),△CDP是否有最大面积?若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由。 ????(2009年深圳市数学中考试题) ????解 (1)设OA的长为x,则OB=5-x。由题意得OC=2,AB=5,∠AOC=∠BOC=90°,∠OAC=∠OCB,因此 ???? ????又由OA<OB,可得 ????OA=1,OB=4, ????从而点A、B、C的坐标分别为A(-1,0),B(4,0),C(0,2)。可设此二次函数的表达式为 ????y=a(x+1)(x-4), ????将点C的坐标代入,得a=-0.5。故这个二次函数的表达式为 ???? ???? ????图3 ???? ????图4 ???? ????评析 通过三点确定了抛物线的解析式;在分析△BDE是等腰三角形时,要抓住等腰三角形的特征,分3种情况进行讨论,即BD=BE,DB=DE,EB=ED;结合等腰三角形的三线合一来解题。由于是求△CDP的最大面积,因此要与二次函数的最值问题联系在一起,故要以△CDP的面积为因变量来建立二次函数。 ????二、双动点与二次函数 ????例2 如下页图5所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的3个顶点B(4,0),C(8,0),D(8,8)。抛物线过点A、C。 ???? ????图5 ????(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式。 ????(2)动点P从点A出发,沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动。速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒。过点P作PE⊥AB交AC于点E。 ????①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G。当t为何值时,线段EG最长? ????②连接EQ。在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。 ????(2009年河南省数学中考试题) ???? ????评析 由矩形的性质可知点A的坐标,近一步求得二次函数的解析式,为以下各小题打下伏笔;随着点P和点Q的运动,EF与抛物线的交点G始终在点E的上方,故EG的长等于点G的纵坐标与点E的纵坐标之差且它们的横坐标相同,所以可以通过建立二次函数来求最值。针对等腰三角形,根据点P、Q的运动分3种情况讨论即可。 ????三、动线段与二次函数 ????例3 如图6所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6cm,CD=4cm,BC=BD=10cm,点P由点B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD于点Q,连接PE。设运动时间为t(s)(0<t<5),解答下列问题: ????(1)当t为何值时,PE∥AB。 ???? ???? ????图6 ???? ????图7 ???? ???? ????故在运动过程中,五边形PFCDE的面积不变。 ????评析 由于线段的运动,因此四边形EFCD为平行四边形;利用相似或比例线段可用t的代数式表示三角形的底与高,故可求得函数解析式。针对五边形面积的定值问题,可利用等积变换转换成已求三角形的面积。 ????四、运动的封闭图形与二次函数 ????例4 如图8,已知直线交坐标轴于点A、B,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A、C、D的抛物线与直线的另一个交点为E。 ????(1)请直接写出点C、D的坐标。 ????(2)求抛物线的解析式。 ????(3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止。设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,

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