初中数学竞赛专题辅导因式分 解一.doc

初中数学竞赛专题辅导 因式分解(一) 　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 　　1 　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： 　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b) 　　(2)a22ab+b2=(a±b)2； 　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 　　下面再补充几个常用的公式： 　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2++abn-2+bn-1)其中n为正整数； 　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中n为偶数； 　　(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2--abn-2+bn-1)，其中n为奇数． 　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 　　1 分解因式： 　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4 　　(2)x3-8y3-z3-6xyz 　　(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab 　　(4)a7-a5b2+a2b5-b7 　　 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) 　　　　　　　=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] 　　　　　　　=-2xn-1yn(x2n-y2)2 　　　　　　　=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2 　　(2)=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) 　　　　　 =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz) 　　(3)=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 　　　　　(a-b)2+2c(a-b)+c2 　　　　　=(a-b+c)2 　　(5)，解法如下： 　　=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) 　　　　=(a-b+c)2 　　(4)=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) 　　　　　 =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) 　　　　　 =(a2-b2)(a5+b5) 　　　　　 =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 　　　　　 =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 　　2 分解因式：a3+b3+c3-3abc． 　　(6)． 　　 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 　　的正确性，现将此公式变形为 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)． 　　这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导． 　　=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc 　　　　　 =(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c) 　　　　　 =(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) 　　　　　 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 　　(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 　　a3+b3+c3-3abc 　　　 　　a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立． 　　x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有 　　x=y=z．这也是一个常用的结论． 　　3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1． 　　16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解． 　　 　　x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)， 　　所以 　　 　　(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 　　2 　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵