历9510全国初中数学竞 赛联赛分类题型详解几何3.docx

历年(95-10)年全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(3)计算题(9道题)1、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。1998年全国数学联赛试卷解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽△CED，又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等．解法2 作FH⊥CE于H，设FH=h．∵∠ABE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠FEH．∴Rt△EHF∽Rt△BAE．即EH=2h，又∵HC=FH，　2．如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．　　1999年全国初中数学竞赛　　　　解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．∵AB=BD，O是圆心，　∴BH⊥AD．又∵∠ADC=90°，　∴BH∥CD．从而△OPB∽△CPD．　，　∴CD=1．　　　　　　　　　　于是AD=．　　　　　　　　　　又OH=CD=，于是　　　　　　　　　　AB=，　　　　　　　　　　BC=．　　　　　　　　　　所以，四边形ABCD的周长为．　3、如图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝AE，且BD＝2，求四边形ABCD的面积。2000全国初中数学竞赛试题解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝。∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。∴，∵E是AC的中点，∴，，∴，∴4．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求的值. 2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题解：设方程的两个根为，，≤.由根与系数的关系得，①. ②由题设及①知，，都是整数. 从①，②消去k，得，.由上式知，，且当k=0时，，故最大的整数根为4.于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4. ……（6分）连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，。故　③ ……（10分）（1）当BC=1时，由③得，，于是，矛盾！（2）当BC=2时，由③得，，于是，矛盾！（3）当BC=3时，由③得，，于是，由于PB不是合数，结合，故只可能解得　此时　.（4）当BC=4，由③得，，于是，矛盾.综上所述5．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得，求的值.2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题解：连结AP，则，所以，△APB∽△ADP∴，所以，∴，所以. 6．如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数。2007年浙江省初中数学竞赛试题7．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题解. 存在满足条件的三角形. △ABC的边a＝6，b＝4，c＝5，且∠A＝2∠B，证明略8.如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.（1）证明：点在圆的圆周上.（2）设△的面积为，求圆的的半径的最小值.2008年全国初中数学联合竞赛试题解（1）连，因为为圆心，，所以△∽△，从而. 因为，所以，所以，因此点在圆的圆周上.（2）设圆的半径为，的延长线交于点，易知.设，，，则，，. 因为,,，所以△∽△，所以，即，故. 所以，即，其中等号当时成立，这时是圆的直径.所以圆的的半径的最小值为. 9．如图，给定锐角三角形ABC，，AD，BE是它的两条高，过点作△ABC的外接圆的切线，过点D，E分别作的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论． 2009年全国初中数学联合竞赛试题解法1：结论是．下面给出证明因为，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得．同理可得．又因为，所以有，于是