基本不等式课件人教A 版必修.ppt

若x、y皆为正数， 则当x+y的值是常数S时， 当且仅当x=y时， xy有最大值_______ 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 思考：这会标中含有怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ a b 1、正方形ABCD的 　　面积S=＿＿＿＿＿ ２、四个直角三角形的 　　面积和S’ =＿＿ ３、S与S’有什么　　　 　　样的不等关系？ 探究１： SS′即 问：那么它们有相等的情况吗？ (a≠b) A D B C E F G H b a 猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 A B C D E(FGH) a b (a≠b) (a＝b) ＝ 思考：你能给出不等式 的证明吗？ 证明：（作差法） 重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围： a,b∈R 替换后得到： 即： 即： 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？ 证明：要证 只要证 ① 要证①，只要证 ② 要证②，只要证 ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分析法 证明不等式： 特别地，若a0，b0，则 ≥ 通常我们把上式写作： 当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 基本不等式 在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数； 文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 适用范围： a0,b0 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? Rt△ACD∽Rt△DCB， A B C D E a b O 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. ②如何用a, b表示CD? CD=______ ①如何用a, b表示OD? OD=______ 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ②如何用a, b表示CD? CD=______ ①如何用a, b表示OD? OD=______ ③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD ＞ ≥ 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. 几何意义：半径不小于弦长的一半 A D B E O C a b 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a0,b0 填表比较： 注意从不同角度认识基本不等式 =(x +1)+ -1 1 x+1 f(x)=x + 1 x+1 =1, ≥2 (x+1)? -1 1 x+1 当且仅当 取“=”号. ∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1. x+1= , 即 x=0 时, 1 x+1 解: ∵ x＞-1, ∴x+10. ∴ 例1. 求函数 f(x)=x + (x＞ -1) 的最小值. 1 x+1 配凑系数 分析: x+(1-2x) 不是 常数. 2 =1为 解: ∵0x , ∴1-2x0. 1 2 ∴y=x(1-2x)= ?2x?(1-2x) 1 2 ≤ ?[ ]2 2x+(1-2x) 2 1 2 1 8 = . 当且仅当 时, 取“=”号. 2x=(1-2x), 即 x= 1 4 ∴当 x = 时, 函数 y=x(1-2x) 的最大值是 . 1 4 1 8 例2. 若 0x , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值. 1 2 若x、y皆为正数， 则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最小值_______. １．已知函数 ，求函数的最小值和此时x的取值． 运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件． ２．已知函数　　　　　　　　　　， 求函数的最小值． 用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件