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第十五章 随机变量及分布函数 第一节 随机变量的概念 观察一个随机试验，其可能的结果可以是数量性质的，也可以是非数量性质的。 例1 某射手中靶的概率为0.4，连射三次。若用ξ表示命中次数(事件eξ)，则ξ=0,1,2,3。 实验的每一可能结果，即命中次数ξ可能去0, 1, 2, 3四个数之一，故ξ是一个变量，它取什么值要由试验结果而定。 例2 一分钟内，电话总机收到呼唤次数，所有可能结果为0次(e0),1次(e1),…。用η表示“一分钟内收到呼唤的次数”，则η是一个变量。{η=k}表示{收到k次呼唤}=ek(k=0,1,…)，而η取什么值要由实验结果而定。 例3 同类元件无故障工作时间(使用寿命)，记为ξ，ξ是一个变量，而ξ的可能取值为ξ≥0，它取什么值仍由试验结果而定。 对于非数量性质的随机现象也可以用数表示： 每一个随机试验，它的所有可能结果都可以用一个变量的取值表示； 这些变量具有特点： 定义 设随机试验E的样本空间为S，如果对于E的每一个可能结果e∈S，变量ξ有一个确定的实数ξ(e)和它对应，且对任何实数x，事件{ξ＜x}={e|ξ(e) ＜ x}有着确定的概率，则称ξ为随机变量。 引入随机变量后，试验E中任何事件都可用随机变量的关系式表示 (i)离散型随机变量：随机变量可能取得的值能够一一列举出来(有限个或可列无限个) 由随机变量的定义，研究随机变量必须知道： 本节关键要点： 由于随机变量ξ=ξ(e)是定义在样本空间S上的一个实值函数，随着试验结果的不同而以一定的概率取不同的值 第二节 离散型随机变量的概率分布 15.2.1离散型随机变量概率分布的概念 定义 设ξ为离散型随机变量，可能取值是x1,x2, …,xn…，取各可能值的概率为 Pn=P(ξ=xn)，(n=1,2,...)， 则称p1,p2,…,pn,…为ξ的分布律或概率分布。 20图形表示 例1 设100件同类产品中，有5件是次品。在其中任取20件，有ξ件是次品，求次品数ξ的分布律. 例2 一射手对某一目标射击，直到第一次命中为止，每次射中的概率为p，设ξ为射击次数，求ξ的分布列. 例3 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6. 现在共有4颗子弹，求命中后尚余子弹数目ξ的分布律. 15.2.2 几个常见的离散型分布 1.单点分布 2.两点分布 3.二项分布 例1 一工人同时看管n部同类型的机床，设每部机床在每一分钟内需要修理的概率为p，0p1. (1)试求在同一分钟内有k(0≤k≤n)部机床需要修理的概率Pn(k)； (2)要求一分钟内有一部以上机床需要修理的概率不超过1%，试问在这种要求下，一个工人最多能看管几部机床？ 4. 泊松(Poisson)分布 在自然现象中，有许多随机变量服从或近似服从泊松分布： 在一定条件下，电话总机收到呼叫的次数； 一百页书中印刷错误出现的个数； 某操作系统发生故障的次数； 一个电子管的阴极发射出电子到达阳极的电子数 例2 设一女工照管800个纱锭，若每一纱锭单位时间内纱线被扯断的概率为0.005，试求单位时间内纱线被扯断的次数不大于3的概率. 例3 已知某种电子元件的废品率是0.01，每100多只装一盒，问一盒中应装多少只电子元件，才能使其中含有100只合格品的概率等于或大于0.95？ 第三节 连续型随机变量的概率分布 15.3.1 连续型随机变量的概率密度 由于连续型随机变量的可能值充满某一区间,不可能一一排列起来，且连续型随机变量取任何个别可能值的概率为0，所以考虑连续型随机变量取个别可能值的概率无意义 对于连续型随机变量，着重研究ξ落在某一“区间”上的概率，而不是取某一可能值的概率。 只有确知随机变量取值于任一区间内的概率，才能掌握它取值的概率分布情况。 第四节 随机变量的分布函数 第五节 正态分布 第六节 随机变量函数的分布 已知分子运动速度的绝对值ξ的分布，求动能η=(1/2)mξ2的分布。 是不是某一随机变量的分布函数？ 不是 因为 函数 可作为分布函数 概率密度函数和分布函数的关系 积分关系 导数关系 各种测量的误差； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 学生们的考试成绩等等 若随机变量 受到众多相互独立的随机因素的影响，每 一个别因素的影响都是微小的，而且这些影响具有加性特征 ，则 服从正态分布。例如： 正态分布所能刻画的随机现象： 则称X服从参数为 若连续型随机变量X的概率密度为 正态分布的密度函数的性质与图形 关于 x = ? 对称 （- ?，?）升，（?，+? ）降 单调性 对称性 拐点 中间高 两边低 y ? ?-? ?+? x ?１ ?2 μ，σ对密度曲