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第八章 數列與級數 課程目標 無窮數列 無窮級數 級數收斂的檢驗法 泰勒多項式 泰勒級數 牛頓法 不定型極限 第八章 數列與級數 許多商業上與經濟上應用的函數定義在非負的整數上，但目前為止我們所研究的函數幾乎是連續函數。這是因為不連續函數可以用連續函數來近似之，再使用連續函數可微分與可積分的優點來處理我們所面對的應用問題。 例如，描述相機售價 p 與每日需求量 x 的關係可用等式，我們將其定義成連續函數 p(x) = 5000 - 200x, x ? 0 其中 x? 0 是實數，其實這個關係式應該定義成不連續函數 p(x) = 5000 - 200x, n = 0, 1, 2, … 此處定義域為非負的整數，因為這個數字代表每日所售出的相機個數。 第八章 數列與級數 一個無窮數列就是簡單地列出一串數目，如 這串數目所出現的次序(order)是很重要的，必須要能指出數列的第一個數目為何，第二個數目為何，…等。這個次序使用正整數當足標做為序列的索引(index)，寫成以下的形式： a1, a2, a3, … 或 {an} , n = 1, 2, 3, … 我們稱上式為無窮數列的一般形式(general form)，稱 an 為一般項(general term)。 無窮數列 一般項 an = n 所產生的無窮數列為 {1, 2, 3, … }，其中 a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, …等。 一般項 所產生的無窮數列為 ，其中a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, …等。 一般項 an = en-1 所產生的無窮數列為 {1, e, e2, …}，其中 a1 = e0, a2 = e1, a3 = e2, …等。 使用一般形式我們可將上述的數列簡記為 由一般項寫出數列 寫出數列 an 前面幾項，其一般項為 an = n/(n + 2)。 計算定期存款的金額 將 10000元存入年息 5% 每年複利計息一次的定期存款，若 P(n) 表示 n = 1，2，3，… 年底時的金額，則這個金額可以視為一般項為 an = P(n) 的序列： 無窮數列 定義8-1:無窮數列是一種函數 f(x)，其定義域為正整數。換言之，若令 an= f(n) ，n = 1, 2, …則此數列 f(n) 通常以 {an} 表之。 數列的運算 設數列{an} = {2n} = {2, 4, 6, 8, … }且{bn} = {n + 5} = {6, 7, 8, 9, …}。 繪出數列之圖形 繪出一般項如下的數列之圖形。 數列的極限 觀察前二圖可以看出數列 {2n + 1} 與 數列有明顯的不同，前者的每一項以固定的速率遞增，沒有趨近任何一個值。可以說 第二個數列的一般項 當n → ? 時 趨近值 L = 2 ，記為 我們稱此數列 的極限為2。 數列的極限 定義8-2: 若數列 {an}的一般項，在 n → ? 時趨近於唯一的定值 L，則此 L 稱為數列{an}的極限，記為 求極限 數列極限的性質 當數列 {an} 與 {bn} 的極限存在時，恆有： 數列的極限 求極限 當 存在時，我們稱數列{an} 收斂 (converge) 至 L，當極限不存在時，我們稱數列 {an}發散(diverge)。 連續型複利 第四章曾介紹底下的複利公式，開始時存放 P0 的金額於銀行中，若年利率為 r ，一年計息 n 次則一年後的金額變成 Pn(1)： 近似和 我們在第五章所述求定積分 近似值的方法(近似值法、梯形法或辛普森法)其實都是藉由產生一個數列 {an}來近似這個定積分。n 表示 [a, b] 區間分割成 n 個子區間。下圖表示利用近似和計算 ，所構成的數列 {an} 中的第6 項 a6 。 無窮級數 分數 1/3 經展開後為一個「無窮小數」 0.333，可以表示成「無窮項」的和： 此無窮項的和就稱為無窮級數 (infinite series)。 定義8-3: 無窮級數為格式如下的和 設 為一無窮級數，部分和 (partial sum) 數列 {Sn} 定義為 若 ，其中 S 為定值，則稱此無窮級數