[其它考试]GCT复习材料—数学微积分.doc

一元函数微积分 新阳光教育http:/ 本部分内容包括：考试要求、内容综述、典型例题、真题． 一、函数 [考试要求] 理解函数的概念，掌握函数的表示方法；了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；会建立简单应用问题中的函数关系． [内容综述] 1．函数概念 （1）函数的定义 （2）函数的两要素 （3）函数的图形 （4）函数的表示法 （5）分段函数： （6）隐函数： ， 2．函数的性质 （1）奇偶性 （2）单调性 （3）周期性 （4）有界性 3．反函数与复合函数 （1）反函数 （2）复合函数： 4．初等函数 （1）基本初等函数 常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 （2）初等函数 [典型例题] 例1 求下列函数的定义域 （1） 解：由 得函数的定义域为。 （2） 解：由 得函数的定义域为 。 （3） 解：由 得函数的定义域为 。 例2 已知函数的定义域为，求函数的定义域． 解：由 得的定义域为。 例3 研究下列函数的奇偶性 （1）， 解：因为对任意的，都有定义，且 ，所以是奇函数。 （2） 解：因为，所以函数是奇函数。 （3）．偶函数 例4 已知函数的周期是，求函数的周期． 解：欲找，使得，即 ，故，。所以函数的周期为。 例5 设，求的表达式． 解：根据得 ，解方程组 得，令 得 ，所以。 例6 已知, 求的表达式． 解：令 得 ，故。 例7 已知，求的表达式． 解：根据 得 ，即 ， 从而 。 。 例8 已知 求． 解： 二、极限 [考试要求] 数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，无穷小与无穷大． [内容综述] 1．数列的极限 （1）数列的概念 （2）数列极限的概念 （3）判断极限存在的两个准则 单调有界有极限定理：例如：已知，证明存在并求其值．提示 证明数列单调下降有下界． 夹逼定理：例如： 求极限．提示 根据，利用夹逼定理（）。 （4）数列极限的性质 极限的唯一性；绝对收敛性；收敛数列的有界性；保序性 （5）数列极限的四则运算 2．函数极限 （1）时的极限 且 （2）时的极限 且 （3）夹逼定理 （4）函数极限的性质 （5）函数极限的四则运算、复合函数的极限 3．两个重要极限 4．无穷大量、无穷小量 （1）无穷大量 （2）无穷小量 （3）几个关系 （4）无穷小的比较与等价无穷小代换 [典型例题] 例1 求下列极限的值 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） ，故所求极限等于1。 （12） 例2已知，求的值． 解：因为，所以。 例3 已知，求的值． 解：因为， 所以 解得。 例4 若， ，求与的值． 解：因为 ，所以。 例5 已知为周期函数，且，试证． 证明：设函数的周期为，则对任意的都有，其中是任意整数，所以 ． 例6 证明等价无穷小关系的传递性． 证明：因为 ，所以． 三、函数的连续性 [考试要求] 理解函数连续性概念，会判断函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质． [内容综述] 1．基本概念 （1）连续及连续点： （2）左、右连续： 定理：函数在处连续的充要条件是：在处既是左连续又是右连续。 （3）间断点及其分类 第一类：左、右极限都存在（可去型：左右极限相等；跳跃型：左、右极限不等）。 第二类：非一类（左、右极限中至少有一个不存在）。 2．连续函数的运算 （1）四则运算 （2）反函数的连续性 （3）复合函数的连续性 3．初等函数的连续性：初等函数在其定义域区间上连续。 4．闭区间上连续函数的性质 （1）有界性：若函数在上连续，则其在上有界。 （2）最大、最小值定理：若函数在上连续，则存在，使得对任意的都成立。 （3）零点存在定理：设函数在上连续，且，则存在，使得。 （4）介值定理：设函数在上连续，满足，则对任意的，都存在介于与之间的，使得。 [典型例题] 例1研究下列函数的连续性，并说明间断点的类型 （1） 解：因为 ，所以是可去型间断点。 （2）， 解：由于，所以从而是跳跃型间断点。 （3）， 解：因为，所以 是跳跃型间断点。 （4）， 解：因为，所以 是跳跃型间断点。 例2 已知函数在上连续，求的值． 解：。 例3 已知函数在上连续，求的值． 解：由于 所以，； ，。 根据连续性可知 解得 。 例4 已知，，证明：当为偶数时，至少有两个不同实根． 证明：当为偶数时，因为，所以存在，使得．由于，从而存在至少有两个不同