[其它考试]考研数学三历年真题答案.doc

2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。 (1)若，则a等于 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3，因此，选C (2)设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程对应的齐次方程的解，则( ) (A) (B) (C) (D)根据已知有，。于是将和分别代入方程左边得 为方程解，为其次方程解，解得，选A (3)设函数具有二阶导数，且小于零，是的极值，则在的极大值的一个充分条件是( ) (A) (B) (C) (D)根据已知得，。因此故要想为的极大值点，只需即可。即。因此只需。选B (4)设，则当x充分大时有( ) (A) (B) (C) (D)，。 因此，选C (5)设向量组Ⅰ：，可由向量组Ⅱ：，线性表示，下列命题的是 (A)若向量组Ⅰ线性无关，则 (B)若向量组Ⅰ线性相关，则 (C)若向量组Ⅱ线性无关，则 (D)若向量组Ⅱ线性相关，则先A，如果则向量组Ⅰ一定线性相关。选项B、D反例：向量组Ⅰ为、，向量组Ⅱ也为、。选项C反例向量组Ⅰ为、，向量组Ⅱ (6)设A为4阶实对称矩阵，且，若A的秩为3，则A相似于 (A) (B) (C) (D)根据已知，方阵A的特征值应满足，即或。又。因此A的特征值为0(一重)和(三重)。故A相似于，选D(7)设随机变量的分布函数，则 (A)0 (B) (C) (D)，选C (8)设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足： (A) (B) (C) (D)根据密度函数的性质，，因此，选A 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9)设可导函数由方程确定，则=______.两边对x求导得 代入得(10)设位于曲线下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是______.体积，（做变量替换） =(11)设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中p为价格，且，则=______.由已知条件，即（分离变量） 两边同时积分有，即 所以有，再有条件，代入，得 所以 (12)若曲线有拐点，则b=______.根据条件得，。其中。于是得到方程，解得 (13)设A，B为3阶矩阵，且，，，则______.注意到，因此＝3(14)设为来自整体的简单随机样本，统计差则ET=______.，因此 三、解答题：15-23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) 求极限 (16)(本题满分10分) 计算二重积分，其中D由曲线与直线及围成画图有该区域Ｄ关于x轴对称，令区域Ｄ在第一象限的区域为 则有 (17)(本题满分10分) 求函数在约束条件下的最大值和最小值令 构造辅助函数， 求解下列方程组： 解得时点和点 时点和点 将得到的4个点代入中可得： 可知函数在条件下的最大值为，最小值为(18)(本题满分10分) (Ⅰ)比较与的大小，说明理由（1）由题意可知积分区域相同，比较两式的大小只需要比较被积函在区域内的大小即可 即比较和的大小 在（0,1）区间上所以上边两式变为 令 当时，上式，所以积分面积(Ⅱ)设求极限（2）因为 又因为，所以 由夹逼定理可知 所以所求 (19)(本题满分10分)设函数在上连续，在内存在二阶导数，且， (Ⅰ)证明：存在使.(Ⅱ)证明存在，使解 1、利用中值定理 2、利用两次罗尔定理可得 (20)(本题满分11分) 设 已知线性方程组存在两个不同的解 (Ⅰ)求 (Ⅱ)求方程组的通解.解：写出增广矩阵 初等行变换 由题意解得 将代入得通解为： (21)(本题满分11分)设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第1列为，求 则将代入，又由得特征值： 由求特征向导为 由求特征向量为 所以Ｑ矩阵为 (22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为，，，求常数A及条件概率密度 条件概率密度公式 上式利用了公式 (23)(本题满分11分)箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1、2、3个，现从箱中随机的取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数。 (Ⅰ)求随机变量的概率分布；(Ⅱ)求1、随机变量的概率分布： 0 1 0 1 2 0 2、 的可去间断点的个数为：（ ） . 1 . 2 . 3 .无穷多个 【答案】C （2）当时，与是等价无穷小，则（ ） .， . ， .， .， 【答案】 （3）使不等式成立的的范围是（ ） . . . . 【答案】 （4）设函数在区间上的图形