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第二章 随机变量及其分布 本章要求 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量函数的概率分布 2.1.1 随机变量的概念 2.1.2 离散型随机变量 2.1.3 (0-1)分布与二项分布 若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。记作X~B（n,p)分布律为： 2.2 随机变量的分布函数 2.2.2分布函数的性质 2.3 连续型随机变量及其概率密度 2.4 随机变量函数的概率分布 2.4.2 连续型随机变量函数的概率分布 密度函数的性质 (1) 非负性 f(x)?0，(-?x?)； (2)归一性 性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； 例 设随机变量X的概率密度为 求常数a. 答: ? (3) 若x是f(x)的连续点，则 例 设随机变量X的分布函数为 ,求f(x) （4） 对任意实数b，若X～ f(x)，(-?x?)，则P{X=a}＝0。 于是 例 已知随机变量X的概率密度为 1)求X的分布函数F(x), 2)求P{X?(0.5,1.5)} 注意:P40 例2-14┄2-117, 例题多 1. 均匀分布 则称X在区间( a, b)上服从均匀分布， X ～ U(a, b) 若 r .v X的概率密度为： 记作 2.3.2均匀分布 与指数分布 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等. 均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差； 例 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率. 解 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 以7:00为起点0，以分为单位 为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 所求概率为： 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3. 从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站， 2. 指数分布 若 X～ 则称X服从参数为?0的指数分布。其分布函数为 指数分布在可靠性理论与排队论中有广泛应用 例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？ 解 本问题属于条件概率 例 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T， 设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为?t的泊松分布，求T的概率密度。 解 当t ≤0时， 当t 0时， =1- {在t时刻之前无汽车过桥} 于是 P{X＝k}＝ 次数 有何发现？ 概率密度就是指数分布，F（t）就是其分布函数 请欣赏 其中 ?为实数， ?0 ，则称X服从参数为? ,?2的正态分布,记为N(?, ?2)，可表为X～N(?, ?2). 若随机变量 2.3.3. 正态分布 (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=?对称； f(?)＝maxf(x)＝ . 正态分布有两个特性： (2) ?的大小直接影响概率的分布 ?越大，曲线越平坦， ?越小，曲线越陡峻。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布 4.标准正态分布 参数?＝0，?2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0, 1)。 分布函数表示为 其密度函数表示为 一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅?(x)的值。(P195附表1)如，若 Z~N（0，1）,?（0.5)=0.6915, 注：(1) ?(x)＝1－ ?(－x)； (2) 若X～N(?, ?2)，则 标准化 P{1.32Z2.43}=?(2.43)-?(1.32) =0.9925-0.9066 例 设随机变量X~N(-1,22),P{-2.45X2.45}=? 例 设 X?N(?,?2),求 P{?-3?X?+3?} 本题结果称为3? 原则.在工程应用中，通常认为P{|X|≤3} ≈1，忽略{|X|3}的值. 如在质量控制中，常用标准指标值±3?作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常. 利用 例 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率. 解:设Y为使用的最初90小时内损