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层次分析法 Analytic Hierarchy Process AHP 二 层次分析法的基本步骤 三 层次分析法建模举例 * * 层次分析法建模 一 问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种 方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。 例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、 外形等方面的因素选择某一支钢笔。 买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选 择某种饭菜。 例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北 戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、 费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。 例3 择业 　　面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去 选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条 件等因素择业。 例4 科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依 据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素 进行选题。 面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后 作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法 解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了 一种能有效处理这类问题的实用方法。 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是 一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。 过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两 种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者 以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近 年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析 的数学工具之一。 层次分析法的基本思路： 与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。 选择钢笔 质量、颜色、价格、外形、实用 钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4 1 质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 2 将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 3 经综合分析决定买哪支钢笔 买钢笔 质量 颜色 价格 外形 实用 可供选择的笔 1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中 间是准则层或指标层。 例1 的层次结构模型 准则层 方案层 目标层 选择 旅游地 景色 费用 居住 饮食 旅途 苏州、杭州、 桂林 例2 层次结构模型 准则层A 方案层B 目标层Z 若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所 有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。 设某层有　个因素， 2 构造成对比较矩阵 要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定 在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把　个因素对上 层某一目标的影响程度排序） 用　 表示第　个因素相对于第　个因素的比较结果，则 则称为成对比较矩阵。 上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。 ９ ７ ５ ３ １ 尺度 第 个因素与第 个因素的影响相同 第 个因素比第 个因素的影响稍强 第 个因素比第 个因素的影响强 第 个因素比第 个因素的影响明显强 第 个因素比第 个因素的影响绝对地强 含义 比较尺度：（1~9尺度的含义） 2,4,6,8表示第　个因素相对于第　个因素的影响介于上述 两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义， 根据　　　　　　　。 由上述定义知，成对比较矩阵　 则称为正互反阵。 比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z 的影响两两比较结果如下： 满足一下性质　 A5 A4 A3 A2 A1 A5 A4 A3 A2 A1 Z 1 1/2 4 3 3 2 1 7 5 5 1/4 1/7 1 1/2 1/3 1/3 1/5 2 1 1 1/3 1/5 3 1 1 分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。 由上表，可得成对比较矩阵 旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。 问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？ 在正互反矩阵 中，若 ,则称 为一致阵。 一致阵的性质： 5. 的任一列(行)都是对应于特征根 的特征向量。 3 层次单排序及一致性检验 层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。 用权值表示影响程度，如何确定权值? 若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最 大特征根 的归一化特征向量 ，且 定理： 阶互反阵