2017年大同杯罗老师版.pdf

Untitled 2017 年上海市大同杯数学竞赛 （考生回忆版 ）解 答 （上 ） 标签 （空格分隔 ） 模拟试题 题 目可能不准确 ，题号也可能不对应 ，仅供参考。解答部分主体 由兰生复旦朱斌 （70% ）和 无业人员罗家亮 （30% ）完成 ，其它为个别难题贡献答案或提示的好友包括了余波 （组合及 不等式 ）、武炳杰 （组合 ）、孙孟越 （数论 ）、成成 （不等式 ）等等 （排名不分先后 ），同 时也参考了蘑菇的答案。感谢各位朋友的大力支持 ，现将答案解析发给大家参考 ，非关键步 骤留有余地 ，供大家思考。编辑由罗家亮完成 ，水平有限 ，错误或不通透之处请各位留言告 知。 关于难度 体现在 11, 12 题上 ，其它试题应该牢牢抓住 ，不能失误。打听下来 ，第 11 组 合应该完成度最差 ，而第 12 题整除分析多少能拿点分。最后 ，成绩需要 10 天左右的时间 才能出来 ，还是这句话 ，即使有二三等奖的把握 ，也还是建议各位友安心一模 ，准备好初三 最后的冲刺。 填空题部分 1. 在 1 − 2017 中 ，数码 2 或 4 出现的数有几个 ？ 解解 ：： 直接分类讨论比较繁琐 ，从反面入手。考虑不含有 2, 4 的数. 千位可选 0, 1, 2 ，而百 位、十位、个位都可选 0 − 9 中除了 2, 4 之外的 8 个数 ，再注意到多计算了 0000 这个 数 ，故本题答案为 2017 − 2 × 8 × 8 × 8 + 1 = 994 2. 已知 △ABC，AB = 2, AC = 3，点 D, E 分别在 AC, AB 上 ，且使得 ∠ABD = 4∠DBC, ∠ACE = 4∠ECB ， AB × CE = AC × BD ，则 S△ABC 为 解解 ：： 如图. 由面积关系可知 1 S△ABC = AB ⋅ CE ⋅ sin ∠AEC 2 1 = AC ⋅ BD ⋅ sin ∠ADB 2 由题设可得 sin ∠AEC = sin ∠ADB ，再由 ∠ABD = 4∠DBC, ∠ACE = 4∠ECB 及 AB ≠ AC 可推知 ∠AEC ≠ ∠ADB ∠AEC ≠ ∠ADB ，故 ∠AEC + ∠ADB = 180∘ 从而得到 ∠A = 30∘ ，故 S△ABC = 1 × 2 × 3 × sin 30∘ = 3 2 2 此处也可以用正弦定理 AB sin ∠ADB = BD sin A AC sin ∠AEC = CE sin A 其余类同处理. 3 3. 正整数 n 满足 n 的个位、百位、万位上的数码都是 7 ，则 n 的最小值是多少 ？ 解解 ：： 由 n3 ≡ 7 (mod 10) 可知其末尾为 3 ，又 n3 70000 ，知 n 40 ，再通过计算 器 T able 功能可得到最小值为 83 . 4. 点 A 在 y 正半轴上运动 ，点 B 在 x 正半轴上运动 ， AC = 4, BC = 5, AC BC ，点 C 与原点 O 在 AB 的两侧 ，则点 C 的轨迹长度是多 少 ？ 解解 ：： 物理大同杯曾经考过一道类同的题 目 ，但物理里面求的是动点的运动的路程 ，这里和本 题的轨迹我们觉得是不一样的 ，因为本题没有规定点 A,