多角度看一道群求助问题.pdf

讨论群 中的难题及解答 年 月 日 朱 多角度看一道群求助问题 上海札罗家亮 我的读者群中经常有不少好玩 的题 目本 现在选出一些经典 问题逐个整理给大家本 以求抛砖引玉本 还请各位朋友多多指教朮 今天讨论 的是春节放假期间一位孩子 的家长贴在群中的求助 问题朮 感谢骆来根老师指出本题 的背景本 感谢邵美悦博士对部 分文稿的审查以及在杌杔 杘 排版上提供的热心帮助和指导朮 题 杅 目如下机 图 朱 是学校某栋楼 的一条走廊的拐角处本 宽为 朲 米 的走廊与另一宽为 朳 米走廊垂直相连朮 现在给你一 条长为 朱朰 米 的直木杆 木视为线段朩本 如果让你带着 木杆沿着走廊通过拐角本 你一定会说机杜不可能朡 朢 你 能解释原因么朿 设木杆的长度为 米本 那么能通过 拐角的 的最大值为多少朿 如果宽为 米 的走廊与 另一宽为 米的走廊垂直相连本 结果又会如何朿 图 朱机 学生家长贴出的问题 本题要求能够通过拐角的木杆的最大长度本 就是要去计算 会被拐角卡住的最小长度本 所以可以假定木杆紧贴着拐角点 本 并计算这种情况下木杆的长度的最小值即可朮 我笔算了一下结果本 感觉得通过求导来处理本 提示家长和 孩子用求导试试本 不一会孩子完成了问题 的一般情形本 家长把 答案贴了上来机 如图 朲本 设木杆紧贴点 以及两条走廊的外侧本 竖直走廊宽 米本 水平走廊宽 米本 木杆与竖直走廊夹 角本 木 杆此时长度为 杳杩杮 末 杣杯杳 本 对 求导可得机 杤 末 朽 杳杩杮 末 杣杯杳 杤 杳杩杮 杣杯杳 杳杩杮 杣杯杳 朲 极值条件为机 杳杩杮 末 杣杯杳 朽 朰本 即杴条杮 朽 朮 易 知随着 由小变大本 木杆长度由大变小本 再 由小变大本 故极值为 最小值本 代回可求得 朽 末 米朮 图 朲机 题 目的解答 不一会本 群友们提示本 可以用 不等式来解决机 如图 朲本 记木杆两端与水平走廊和竖直走廊的接触点到点 的距离分 别为 本 则有 末 朽 朱本 在此条件下求 朽 末 的 最小值朮 由杈板杯杬杤来杲 不等式有机 末 末 末 从而可得 朽 末 朽 末 本 等号当且 仅当 朽 即杴条杮 朽 朽 时取得朮 我原以为以上两种方法都是代数方法本 其实它们都是分析 学中的内容朮 不过话说 回来本 如果本题条件中如果有 朽 本 即 直角走廊等宽的话本 则完全可以由基本不等 式解决本 具体请看 篇尾的练习题朮 换一个角度继续给出