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分式线性递推数列 ax + b 问题 数列 {u } 满足条件 u = f (u ), 其中 f (x) = , (ad ≠ bc). cx + d 已知 u , 求通项公式 u = φ(n) = f (a ). 大学视角 如果你没学过线性代数, 可以直接看中学算法. 如果你学过线性代 数, 即使没有学懂, 读了这段可以帮助你理解线性代数的思想方法及应用. x 将 u 写成分数的形式 u = (其中 x = u y). 则 y (x ) a · + b ax + by u = f = = y c · + d cx + dy x 每个实数 u 可以写成分数的形式 u = . 可以任取 y ≠ 0 作为分母, 再取 y u x x = uy 作为分子即可. 例如, 取 u = . 可以用 u = 的分子分母组成坐标 1 y X = x) 来表示 u. 也就是用平面向量 X 来表示实数. y x 每个 u = 的分子分母同乘一个非零倍数 λ, 分数值 u 不变. 因此, 过原 y 点同一条直线上所有非零有向线段代表的向量的坐标 λX = λx) 是同一个实数 λy λx x = = u 的坐标, 称为 u 的齐次坐标. λy y 由 f (x ) = ax + by 知 f 引起齐次坐标之间的变换 y cx + dy f : X = x) → Y = ax + by) = a b) x) y cx + dy c d y 是线性变换, 通过 X 左乘可逆矩阵 A = a b) 实现. 必要时可以将 f (u) 的坐 c d 标替换成 λY = (λA)X , 也就是用 λA 代替 A, 仍不改变 f (u). 数列第 n 项 u = f (u ) = f (u ) = · · · = f (u ) 的坐标 X = AX