[初一数学]奥数基础一次函数含解答-.doc

一次函数，0）； （2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行． 3．性质：（1）图象的位置： （2）增减性：k0时，y随x增大而增大， k0时，y随x增大而减小． 4．求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 （1）由已知函数推导或推证． （2）由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系． （3）用待定系数法求函数解析式． “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： ①利用一次函数的定义 构造方程组； ②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b为定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k为定方向； ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程； ④利用题目已知条件直接构造方程． 待定系数法的主要步骤，简单地说可划为“设”、“列”、“解”三大步．“设”即设未知系数，“列”即列方程或方程组；“解”即解方程或方程组． 例题剖析 例1 （2006年“信利杯”全国初中数学竞赛（广西赛区））已知直线L经过（2，0）和（0，4），把直线L沿x轴的反方向向左平移2个单位，得到直线L′，则直线L′的解析式为_______．分析：先求出直线解析式y=kx+b，再抓住平移k不变，进行求解． 解：因为过（2，0）和（0，4）的直线L解析式是y=-2x+4，设向左平移2个单位得到的直线L′解析式是y=-2x+m，将它与x轴的交点坐标（0，0）代入得m=0，所以直线L′的解析式为y=-2x． 评注：直线y=kx+b平移时k值不变，上下平移时再抓住与y轴的交点变化，左右平移时再抓住与x轴的交点变化就能得解． 例2 （2000年全国初中数学竞赛试题）一个一次函数图象与直线y=x+平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（-1，-25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）． （A）4个 （B）5个 （C）6个 （D）7个 分析：根据所求一次函数图象与直线y=x+平行且过点（-1，-25），即可确定该函数的解析式，然后采用列举法进行分析． 解：设与直线y=x+平行的直线的方程为y=x+k，又（-1，-25）在直线y=x+k上，得k=-． 因为A、B为y=x-与x轴、y轴的交点，所以A（19，0），B（0，-）． 又y=x-=（x-19），0≤x≤19，x-19必须是4的整数倍，只有当x=3，7，11，15，19时，y为整数， 因此在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有5个，选B． 评注：所谓横坐标、纵坐标都是整数的点，即求该函数解析式（二元一次方程）在某范围内的整数解． 例3 （2005年富阳市初二数学竞赛）不论k为何值，解析式（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0表示的函数的图象经过一定点，则这个定点是_______． 分析：该题是“直线束”问题，可在k的取值范围内取两个定值两条特殊直线求得交点，再证明其他直线必过此点． 解：因为已知函数是一次函数，故k+3≠0，分别令k=1与k=2，得 解得 ,即两特殊直线相交于点A（2，3）， 而当x=2时，函数式为2（2k-1）-（k+3）y-（k-11）=0． 整理得（k+3）y=3（k+3）， 所以k取不等于-3的任何值时，y=3．当x=2时，必得y=3． 不论k为何值该一次函数的图象恒过定点（2，3）． 评注：利用“不论”性，取k的任意两个特殊值，代入函数关系式，求出x、y的值，再验证所求得的x、y值适合函数关系式，从而确定函数图象恒过定点，这是解决这类问题常用的方法．此外本题还可利用一次方程ax=b有无数解的条件来解，同学们不妨一试． 例4 （2005年富阳市初二数学竞赛）在一次函数y=-x+3的图象上取一点P，作PA⊥x轴，垂足为A，作PB⊥y轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积为，则这样的点P共有（ ） （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个 分析：设点P的坐标为（x，-x+3），则矩形OAPB的面积表示为│x│