ARMA模型的参数估计主要内容.doc

第6章 ARMA模型的参数估计 第 PAGE 24 页 共 NUMPAGES 37 页 第六章 ARMA模型的参数估计—主要内容 §6.1 AR(p)模型的参数估计 问题: 已知的AR(p): ,.(1.1) 由去估计和. 1. AR(p)模型的Yule-Walker估计 自回归系数由自协方差函数惟一确定. 白噪声的方差由决定. 现获, , 则作 (1) ; (2) ; (3) 只要不全同, 则正定, 得惟一 , . 实用中, Levinson递推公式(无需求逆, 快): (1) (2) ,. 以上Yule-Walker估计的最大优点是: 即最小相位(只要正定). 定理1.1(参见[18]) 若独立同分布, , 则当时, 有 (1) ; (2) (3) , . 由上(2)得: . (其中是中相应元素) 置信水平0.95的渐近区间: . 2. AR(p)模型的最小二乘估计 设是的估计, 称使残差 的最小的为最小~. 记 当正定时, 有惟一的 . 理论表明: ,. 即两种估计差别不大. 对二乘估计,也有大样本性质 定理1.2若,独立同分布, 是最小二乘估计, 则当时, 有 3. AR(p)模型的最大似然法 设模型的 , 则 从而得关于的似然函数为 通过解似然方程 结果同最小二乘法. 例1.1 设白噪声, 模型为 分别用Yule-Walkey法和最小二乘法估计参数. 结果见程序ese6_1_1.m 4. AR(p)模型的定阶问题 若偏相关系数, 则认为. 以上结果由以下定理保证. 定理1.3 若AR(p)中是独立同分布, 则对任何, 有 . 为了检验, 可借助极限分布. 定理1.4 若AR(p)中是独立同分布的, , 则对确定的, 有 推论1.5 在定理1.4的条件下, 对, 有 .(证明略见196页) 故有95%的概率落在 . 因此取的估计 可能较高. 实际中, 常用AIC准则: (1) 分别取(上界或较大数); (2) 求AR(k)时的; (3) 计算 (4) 称为AIC定阶. 注1: 一般(真), 并无, 即不相合; 注2: 通常, 略高的阶数比低的阶数要好. 有利历史数据利用, 等. 为克服不相合, 改用BIC(k)函数定阶. (上界) 注3: 若是独立同分布的, 则BIC(k)是强相合的; 注4: 当不大, BIC定阶偏低,会失真, 宜取AIC. 5. AR(p) 模型的拟合检验 设由已得, , , 对残差: , 用§4.3白噪声检验: 若符, 则认可, 并用于预测, 否则重估、改用MA(q), ARMA(p,q). 6. AR(p)序列的谱密度的估计 ,,代入. 注5: 若是独立同分布的,是由AIC或BIC定阶的, 则一致收敛到. 例1.2 取附录B7 中的300个数据, 对 AR模型的阶数分别 为上界, 解Y-W方程, 4截尾的. 所以用B7数据拟合出AR模型的阶数应为4, 即 通常AIC定阶略高, 下图即为用以上模型产生的300个数据, 重复1000次中定阶的结果, 定阶有别. 但充分多数据和大数重复后, 定阶的情况很接近. 例1.3 对用B7数据拟合出的模型, 进行拟合检验. (1) 中心化: ; (2) 计算残差: ; () (3) 计算的自相关系数 ; (4) 计算卡方值: (假设是白噪声的统计量) ; (5) 计算临界值 (6) 判断: 所有, 则不能拒绝残差是独立的白噪声的假设, 即认可. §6.2 MA(q)模型的参数估计 MA(1)模型: , . 不难得: , 于是得: , 即, 可解得: , (,时). 估计值: ,(独立白噪声). 1. 一般可逆MA(q)模型的矩估计及其计算 若先知,, 则有及个非线性方程 () 反之, 若先知, 由上方程, 可解得. 线性迭代法求解法: (1) 用求; (2) 初值: 任取 (3) 迭代: (4) 停止: . (5) 检验可逆条件, 不满足, 重取初值, 重算. 也可用§3.1中的方法(MA(q)的是截尾的) (1) 用求; (2) 作 (3) 分别计算和 其中: . 合理性由以下定理给出. 定理2.1若MA(q)中是独立同分布的, 则当充分大后,几乎必然满足可逆条件. 实用可逆充分条件是: . 2. MA(q)模型的逆相关函数法—简介 想法: 视 MA模型?AR模型, 故先求AR模型参数, 而后求MA模型参数, 即 :AR(p) 方法步骤: (1) 用,求,用AIC等法定出AR(p)的阶; (2) 取, 用Y-W方程确定; (3) 用引理2.2, 计算, 即() , (4) 利用Y-W方程 和 求得()和. 3. MA(q)模型的新息估计方法—简介 设, ; 则样本新息: ; 预测均方差: ; 前证可表: , 递推