[基础科学]几何与代数二次型微改2.ppt

第六章 二次型与二次曲面 §6.1 二次型 例7. 同阶正定矩阵A,B的和A+B仍为正定矩阵. 例8. 设实对称矩阵A满足A2?3A+2E = O, 证明 存在可逆矩阵P, 使得A = PTP. 证明: 设?为A的一个特征值, 则?2?3?+2 = 0, 故? = 1或2, 因此A的特征值均大于零. 所以A是正定的.所以存在可逆矩阵P, 使得A = PTP. xT(A+B)x = xTAx + xTBx 第六章 二次型与二次曲面 §6.1 二次型 例9. 设A是正定的n阶实对称矩阵, 证明A+E的 行列式大于1. 证明: 因为A是正定的n阶实对称矩阵, 所以|A+E| = (?1+1)…(?n+1) 1. 所以A的n个?1, …, ?n均大于零. 设QTAQ = Q?1AQ = ? = ?1 ?n , 则Q ?1(A+E)Q = ?+E = ?1+1 ?n+1 , 第六章 二次型与二次曲面 §6.1 二次型 定理6.5. n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充分 必要条件是A的各阶顺序主子式 …, ?2 = a11 a12 a21 a22 , ?1 = a11, 均大于零. ?n = |A| 例如A = 2 ?6 4 ?6 3 1 4 1 4 中二阶顺序主子式 2 ?6 ?6 3 ?2 = = ?30, 故A不是正定的. ? §6.1 二次型 第六章 二次型与二次曲面 例10. 若f(x1, x2, x3) = x12 + x22 + 5x32 + 2ax1x2 ? 2x1x3 + 4x2x3 是正定的, 求a的取值范围. 解: f(x1, x2, x3)的矩阵A = f(x1, x2, x3)是正定的 1 a ?1 a 1 2 ?1 2 5 的顺序 主子式?1 = 1 0, ?2 = 1 a a 1 = 1?a2, ?3 = |A| = ?a(5a+4). ? 1?a2 0, ?a(5a+4) ? ?4/5 a 0. ? §6.1 二次型 第六章 二次型与二次曲面 例11. 设A, B都是实对称矩阵, M = A O O B , 证明: M正定? A, B都正定. 证明: (?) ① M正定 ??x, y ? ?, xTAx = (xT, ?T)M x ? 0, yTBy = (?T, yT)M ? y 0, ? A, B都正定. ? §6.1 二次型 第六章 二次型与二次曲面 例11. 设A, B都是实对称矩阵, M = A O O B , 证明: M正定? A, B都正定. 证明: (?) ② 设P?1AP = M正定? ?1, …, ?s, ?1, …, ?t 0 ?1 ?s … , Q?1BQ = ?1 ?t … , 则 P O O Q ?1 A O O B P O O Q = ?1 ?s ?1 ?t … … ? A, B都正定. ? §6.1 二次型 第六章 二次型与二次曲面 例11. 设A, B都是实对称矩阵, M = A O O B , 证明: M正定? A, B都正定. 证明: (?) ③ 设A为s阶的, 则当i ? s时, M正定? M的顺序主子式 0 ? A, B的顺序主子式 0 A B O O M的i阶顺序主子式 = A的i阶顺序主子式 当i s时, M的i阶顺序主子式 = |A|?B的i?s阶顺序主子式 ? A, B都正定. ? §6.1 二次型 第六章 二次型与二次曲面 例11. 设A, B都是实对称矩阵, M = A O O B , 证明: M正定? A, B都正定. 证明: (?) ① 因为A, B都正定, PTAP = E, QTBQ = E, 于是 P O O Q T A O O B P O O Q = , E O O E 所以存在可逆阵P, Q使 因而M正定. 其中 可逆, P O O Q ? §6.1 二次型 第六章 二次型与二次曲面 例11. 设A, B都是实对称矩阵, M = A O O