[学科竞赛]1629届全国中学生物理竞赛电磁学专题答案.doc

电磁学专题答案 （16）三、参考解答 根据题中所给的条件，当圆环内通过电流时，圆环中心的磁感应强度 穿过圆环的磁通量可近似为 （1） 根据法拉第电磁感应定律，电流变化产生的感生电动势的大小 （2） 圆环的电阻 （3） 根据题设条件 ，，， ,代入（3）式得 （4） 由电阻与电阻率、导线截面积、长度的关系 及已知导线的直径，环半径，得电阻率 （5） 五、参考解答 解法一： 1．（1）电阻图变形． 此题连好的线路的平面图如图预解16-5-1所示． 现将电阻环改画成三角形，1、3、5三点为顶点，2、4、6三点为三边中点，如图预解1—5-2与图预解16-5-3所示．整个连好的线路相当于把的三个顶点分别接到的三个中点上，图预解16-5-1变为图预解16-5-4．这样第1问归结为求图预解16-5-4中最外层三角环任意两顶点间的等效电阻。 （2）递推公式． 为使图形简化，讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。由六个阻值为的电阻构成一个三角环，将其顶点接在另一由六个阻值为的电阻构成的三角环的中点上（如图预解16-5-5所示）。 图预解16-5-6是由六个阻值为的电阻构成的三角环。若图预解16-5-5顶点1、3间的电阻与图预解16-5-6顶点l、3间的电阻阻值相等，我们称图预解16-5-6中的为等效单环电阻． 用符号“//”表示电阻的并联，如 由图预解16-5-5中的对称性可知l、3两顶点间的电阻等于图预解16-5-7中1、0间的电阻的2倍，即 （1） 同理，图预解16-5-6中1、3两顶点间的电阻为 （2） 由（1）、（2）式得等效单环电阻为 （3） 2. 第一问 现在考虑把、、、、按相反的次序，由内向外依次连接的情况．首先将接在外面，求双环的等效单环电阻〔即（3）式中的〕．这时．由（3）式得到为 其次，在双环外面接上，这时．三环的等效单环电阻为 由此可得一般公式，环的等效单环电阻可由求出 （4） 于是 由（2）式得出由一个环（）、两个环（）直至五个环（）构成的线路1、3点间的电阻为 答：所求的五个环的1与3间的等效电阻确为．证毕。 3. 第二问 根据五个组成的圆柱形网络的对称性，的l、3两点等价于的2、4两点．等价线路如图预解16-5-8与图预解16-5-9所示．设二图等价，求图预解16-5-9中的即可． 所以 答：所求值为。 解法二： 第一问 图预解16-5-3可看做的接线图，其一半如图预解16-5-10所示，竖直粗线为一短路线．一个环（）构成线路的1与0点间的阻值用表示，根据对称性，。 当接入后，由两个环（类似图预解16-5-5）构成线路图的一半如图预解16-5-11所示．三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形（）中的2与间的阻值就是图预解16-5-10中1与0间的阻值。其等效电路如图预解16-5-12所示．图预解16-5-11（或图预解16-5-12）中的l与0点间的阻值用表示．有 再将双环接入，其一半如图预解16-5-13所示，三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形中含有六个电阻，其2与间的阻值就对应为，参看图预解16-5-12的等效电路，得 同理，得 由此得 第二问 五个电阻环构成线路后，最外层环（）上2点与4点间的等效电阻可借用图预解16-5-12求得，将图中换成，五个环构成的线路中2与4间阻值可如下求得：