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[学科竞赛]最值问题
一、点关于一条直线的对称问题 一天,天气很热,小明想回家,但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让小狗到河边喝上水,同是回家又最近? 知识介绍: 两条线段之和最短,往往利用对称的思想,把两条线段的和变为一条线段来研究,利用两点之间的线段最短,可以得出结果。 中学数学中常见的对称有两类,一类是轴对称,一类是中心对称。 轴对称有两个基本特征:垂直与相等。构造点M关于直线PQ的轴对称点N的方法是:过M作MO垂直于PQ于点O,并延长MO到点N,使NO=MO,则点N就是点M关于直线PQ的对称点。 问题分析:过A作AO垂直于直 线L于点O,延长AO到点A’,使A’O=AO,连接A’B,交直线L于点 C,则小明沿着ACB的路径就可以满足小狗喝上水,同时又使回家的路程最短。 例1、如图,菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是 分析:由菱形的性质知:点B与点D关于AC对称。因为P在AC上支运动,所以PB=PD。 要求PE+PB的最小最,即求PD+PB的最小值。连接DE交AC于点,则DE即为所求。又∠BAD=60°,AE=AD,E为AB的中点,所以DE⊥AB,而AB=AD=2,所以DE=,即 PD+PB的最小值为 二、转化法 圆锥表面的最短路线也是一条曲线,展开后也是直线.请看下面例题. 有一圆锥如下图,A、B在同一母线上,B为AO的中点,试求以A为起点,以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线. 解:将圆锥面沿母线AO剪开,展开如上右图(把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时,A′、B′分别与A、B重合),在扇形中连AB′,则将扇形还原成圆锥之后,AB′所成的曲线为所求. 利用圆柱侧面积 如下图,在圆柱形的桶外,有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物,已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米, B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米,而C、D两点之间的(桶口)弧长是15厘米.如果蚂蚁爬行的是最短路线,应该怎么走?路程总长是多少? 分析 我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图(下图),由于B点在里面,不便于作图,设想将BD延长到F,使DF=BD,即以直线CD为对称轴,作出点B的对称点F,用F代替B,即可找出最短路线了. 三、可视为距离的最值 “中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时,如下图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30米处,过了2秒后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50米,这辆小汽车超速了吗? 分析:判断小汽车能否超速,只需求出汽车由C到B的速度.因为行驶时间为2秒,所以必须求出C、B两点之间的距离,而BC在直角三角形中,在已知两边求第三边的情况下,利用勾股定理可以求得BC的值. 一次函数的自变量x的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因而没有最大(小)值;但当时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大(小)值。 利用函数的性质求最值问题 1.一次函数、反比例函数性质的应用 一次函数和反比例函数在它们的定义域内都没有最值,但在实际应用问题当中,自变量在一定范围内取值时,由函数的增减性知函数有最值. 典型例题 例. 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少? 解:设招聘甲种工种的工人为x人,则乙种工种的工人为人, 由题意得: 所以 设所招聘的工人共需付月工资y元,则有: 因为y随x的增大而减小 这道题就迎刃而解了。 例2 某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套,该公司所筹资金不少于2090万元,但不超过2096万元,且所筹资金全部用于建房,两种户型的建房成本和售价如下表: (1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? (2)该公司如何建房获得利润最大? (3)根据市场调查,每套B型住房的售价不会改变,每套A型住房的售价将会提高a万元(a0),且所建的两种住房可全部售出,该公司又将如何建房获得利润最大? 注:利润=售价-成本 分析:(1)设A种户型的住房建x套,则B种户型的住房建(80-x)套,根据题意:该公司所筹资金不少于2090万元,但不超过2096万元,可列出两个不等式,解不等式组,即可求出x的取值范围,进而确
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