《等比数列与分形》教学设计-黎宁.doc

《分形》教学设计 北京市陈经纶中学 黎宁 一、指导思想与理论依据. 本节课依据教育部《普通高中数学课程标准(实验)》的基本理念，倡导积极主动、勇于探索的学习方式,以教材为工具，充分利用社会资源——社会大课堂教育基地中国科技馆的“数学之魅”，安排适当的教学情境，引导学生独立自主地开展数学学习和研究. 在数学课程改革中，几何学科的改革历来是人们关注的焦点.站在时代和整个几何学发展的高度，全方位地审视对几何内容的处理，通过对现代数学新分支——分形几何学的初步知识在高中课程中的安排，改变“见木不见林”的课程模式，使学生能鸟瞰整个几何学世界，把握几何学发展的脉络，开拓几何思维的新空间.是课程设计的理论依据. 二、教学背景分析. （一）教学内容分析: 《分形与数列》是依托于人教版普通高中课程标准试验教科书必修（数学5）第二章数列的授课内容，一方面可以让学生体会数列是一种特殊函数，加深对函数概念和性质的理解，对数列的本质有清晰的认识和把握；另一方面，通过数列概念引入以及数列应用的过程，体会数列问题的实际应用价值，体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点.同时，这个教学内容，体现了特殊到一般、函数的思想，是提高学生推理论证能力的良好素材. （二）学生情况分析 本班学生为北京市示范性普通高中高二年级的学生,学生已经学习过数列的概念及其表示法，等差数列与等比数列的概念、通项公式和前项和的有关知识，具备一定的推理论证能力和运算求解能力.学生兴趣小组在老师的带领下，参观了中国科技馆B馆“数学之魅”场馆，并对各自感兴趣的内容进行了相关知识的查阅与研究. （三）教学方式 教师启发引导与学生自主探究相结合. （四）教学手段 计算机辅助教学. 三、教学目标设计. （一）教学目标 1.通过对谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形、谢尔宾斯基地毯以及科赫（koch）曲线中数学模型的分析，掌握从特殊到一般归纳数列的通项公式、由递推关系式推导数列的通项公式以及有关证明推理的方法. 2.通过教学，体会从特殊到一般、数形结合以及函数的思想，提高推理论证能力和运算求解能力. 3.体会数列在实际生活中的应用价值，提高数学应用的意识. （二）教学重点 数列通项公式的求法是教学的重点 （三）教学难点 由递推关系式推导数列的通项公式以及不等式的证明教学的难点. 四.教学过程与教学资源设计. 设置情景，引入课题 罗马花椰菜 分形艺术 海马尾巴我们参观了中国科技馆B馆“数学之魅”场馆，许多同学都对场馆内的互动栏目“制作自己的分形”产生了强烈的兴趣，有些同学进行了相关知识的查阅与研究，现在我们来重现美丽神奇的“分形”.（教师展示科技馆展项图片，图1） 探索研究，引申拓展 提出问题1：（人教版必修（数学5）课本第30页，例2.） 图中的三角形为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图四个三角形中，着色三角形的个数构成一个数列的前四项，请写出这个数列的一个通项公式. 解：如上图，这个三角形中着色三角形的个数为1,3,9,7.则所求数列的前四项都是3的指数幂，指数为序号减1，所以，这个数列的一个通项公式是 （展示科技馆展项图片，图2） 提出问题2：（人教版必修（数学5）课本第34页，习题2.1，B组，第1题.） 下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，请写出这个数列的前5项和数列的一个通项公式. 解：5项是1,9,73,585,4681. 显然，注意到该数列的递推公式是. 通项公式为. （展示科技馆展项图片，图3） 提出问题3： 如图，将一个边长为1的正三角形每条边三等分，以中间一段为边向形外作三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3），……，记第个图形的边长为，周长为，求数列、的通项公式. 解：因为， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 因此数列的通项公式为. 因为， 所以数列是以3为首项，为公比的等比数列， 因此数列的通项公式为.若，Koch曲线总长度趋于无穷,它成为一条无限长的边界围绕着一个有限的面积的几何对象. 能否确定第n个图形面积的最小上界？并给出证明。 解：若第个图形的面积为，.证明如下： 因为， 所以， ……， . 把上述个式子相加，得： 所以，因此归纳回顾，小结反思在实验、观察、探究的过程中，运用了数形结合、函数的思想，体会了特殊到一般的过程，锻炼了推理论证、运算求解的能力..在学习过程中，认识到数学在实际生活中的应用价值，了解到数学的文化与”的展览项目及互动栏目作为教学情境，依托于高中数学课程中数列与不等式的有关内容，以启发的教学方式，引导学生进行实验、观察、探究与证明，使学生感受数学在人类探索和发现中的巨大作用，体