三次函数的单调性与极值问题.doc

三次函数的单调性与极值问题 以函数为载体,以导数为工具,以考查函数性质和导数极值理论 单调性质 几何意义及应用是近年高考导数与函数交汇试题的特点和趋向.其中三次函数问题在高考试卷(特别是文科)里经常出现,其原因是三次函数的导数是二次函数,而二次函数是高中的重要内容.可综合考查导数,函数,方程,不等式等知识.下面对三次函数的单调性,极值问题进行分析,希望对同学们提升解题分析有所帮助和启示. 一、三次函数的单调性问题 设三次函数，则 其判别式= （1）若＞0，即＞0解方程得两根，（假设＜） 当x或x时＞0因此(-∞，)和（，+∞）上为增函数；当＜x＜时，＜0，因此（，）上为减函数。 （2）若≤0时，即≤0，则≥0在R上恒成立，因此在R上为增函数，由上述推导，较易得到：三次函数 ①若＞0则(－∞，)和（，+∞）上为减函数，在（，）上为增函数。 ②若≤0时，则（-∞，+∞）上为减函数 二．三次函数的图象 由三次函数的单调性，可知三次函数的图象分布情况大致如下： 三．三次函数的极值问题 由上述推导过程知三次函数的极值情况：三次函数 若=≤0，则f(x)在R上无极值 若＞0，则f(x)在R上有两个极值。 当a＞0时，在x=处取得极大值，在x=处取得极小值 当a＜0时，在x=处取得极小值，在x=处取得极大值 综合上述三次函数问题的探讨，参考其思想方法对三次函数的解决大有帮助。 【例1】（全国卷I）设为实数，函数在和 都是增函数，求的取值范围。 解：f(x)=3x2－2ax+(a2－1),其判别式△=4a2－12a2+12=12－8a2. (ⅰ)若△=12－8a2=0,即a=±,当x∈(－∞,),或x∈(,+∞)时,f(x)0,f(x)在R为增函数.所以a=±. (ⅱ)若△=12－8a20,恒有f(x)0,f(x)在(－∞,+∞)为增函数,所以a2,即a∈(－∞,－)∪(,+∞) (ⅲ)若△12－8a20,即－a,令f(x)=0,解得x1=,x2=. 当x∈(－∞,x1),或x∈(x2,+∞)时,f(x)0,f(x)为增函数;当x∈(x1,x2)时,f(x)0,f(x)为减函数.依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥,解得1≤a 由x2≤1得≤3－a,解得－a,从而a∈[1,) 综上,a的取值范围为(－∞,－]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(－∞,－]∪[1,∞). 【例2】（山东卷）设函数f(x)= (Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ) 讨论f(x)的极值.解：由已知得 ，令，解得 . （Ⅰ）当时，，在上单调递增 当时，，随的变化情况如下表： 0 + 0 0 极大值 极小值 从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 当a=1时，函数f(x)没有极值. 当a1时，函数f(x)在x=0处取得极大值，在处取得极小值 【例3】（安徽卷）设函数，已知是奇函数。 （Ⅰ）求、的值。 （Ⅱ）求的单调区间与极值。 解：（Ⅰ）∵，∴。从而＝ 是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；所以在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。 小结导数内容的引入，使三次函数与“二次函数，二次方程，二次不等式有机地结合在一起。对三次函数的单调性，极值作探究，对提高解题能力大有帮助。