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第2章 时域离散信号和系统的频域分析 卢光跃教授 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 2.1 引言 我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域 分析方法和频率分析方法。 在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t 的函数表 示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分 析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换 到频率域。 而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其 自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分 方程描述。 而频域分析是用Z 变换或傅里叶变换这一数学工 具。 其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换 （DTFT ），它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的， 但都是线性变换，很多性质是类似的。 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变 换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也 是数字信号处理这一领域的基础。 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1 序列傅里叶变换的定义 定义 ∞ X (e j ω) ∑ x (n )e −j ωn (2.2.1) n=−∞ 为序列x(n) 的傅里叶变换，可以用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。 FT成立的充分必要条件是 序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式： ∞ ∑ x (n ) ∞ (2.2.2) n=−∞ 为求FT 的反变换，用e j ωn乘(2.2.1)式两边，并在 - π~ π内对ω进行积分，得到 ∞ π π j j m j n j n ∫−π X (e ω)e ω dω ∫−π [ ∑ x(n)e− ω ]e ω dω n=−∞ ∞ ∞ j ω(m n ) ∑x (n )∫−∞ e − d ω n=−∞ π j ω(m n ) 式中 ∫−π e − dω 2πδ(n =−m) (2.2.3) 1 π j j m x n X e ω e ω d ω 因此 ( ) 2π ∫−π ( ) (2.2.4) 上式即是FT 的逆变换。(2.2.1)和(2.2.4)式组成一对 傅里叶变换公式。 (2.2.2) 式是FT 存在的充分必要条 件