[小学教育]线代2-2--工程数学.ppt

作业 P55-56 6；9；10（1），（3）；11（2），（4）； 14；15；16；17；18；19；21；22；23；24；26；27；28（1） 都是方阵. 5、分块对角矩阵 设Ａ为ｎ阶方阵，若Ａ的分块矩阵只有在主对角 线上有非零子块（这些非零子块必须为方阵），其余 子块全为零，那么方阵Ａ就称为分块对角阵. 即如 都是分块对角阵. 分块对角矩阵具有下述性质: 1） 2） 3）若 则有 若 ，则有 5）若 则 均为可逆方阵. 4）若 则 6、设 则 例1 设 三、应用 求 解 分块 则 又 于是 例2 设 求 解 例3 设 求 其中 解 例4 设 为 阶方阵， 分别为 的伴随矩阵， 分块阵 ，则 （ ） 分析 例5 设 求 解 令 其中 所以 而 所以 可求. 称为矩阵 的 个行向量. 矩阵 有 个行， 称为矩阵 的 个列向量. 矩阵 有 个列， 四、两种特殊的分块法--按行分块与按列分块. 行记作 ，则矩阵 便记为 若第 列记作 若第 ，则矩阵 便记为 对于线性方程组 若记 其中 称为系数矩阵， 称为增广矩阵. 称为未知数向量， 称为常数项向量， 按分块矩阵的记法，可记 利用矩阵的乘法，此方程组可记作 如果把系数矩阵按行分成 块，则线性方程组 可记作 这就相当于把每个方程 记作 如果把系数矩阵按列分成 块，则与 相乘的 相应 的应分为 块，从而可记作 即 对于矩阵 与矩阵 的乘积矩阵 ，若把 按行分成 块，把 分成 块， 其中 便有 另外：以对角矩阵 左乘矩阵 时，把 按行 分块，有 另外：以对角矩阵 右乘矩阵 时，把 按列 分块，有 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法. (1) 加法 (2) 数乘 (3) 乘法 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似： 同型矩阵，采同相同的分块法； 数 乘矩阵 ，需 乘 的每一个子块； 若 与 相乘，需 的列的划分与 的行的划分相一致. 五、小结 (4) 转置 (5) 分块对角阵的行列式与逆阵 (6) 两种特殊的分块法：按行分块与按列分块. 六、思考题 证 * 课前复习 矩阵运算 加法 数乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 伴随矩阵 方阵的行列式 共轭矩阵 矩阵的幂 线性运算 对称矩阵 反对称矩阵 乘法运算中的１， 在数的运算中，当数α≠０时， 则 称为 的倒数， 个矩阵 ， 在矩阵的运算中， 一、背景 1、数 2、矩阵 则矩阵Ａ称为的可逆矩阵， （或称为 的逆）； 有 单位阵Ｅ相当于数的 那么，对于矩阵Ａ，如果存在一 有 称为 的逆阵. 3、线性变换 它的系数矩阵是一个ｎ阶矩阵， 若记 则上述线性变换可表示为 按Cramer法则，若 ， 则由上述线性变换可 解出 在按第 列展开得 即 则 可用 线性表示为 若令 易知这个表达式是唯一的. 这是从 到 的线性变换，称为 原线性变换的逆变换. 若把此逆变换的系数记作 ， 则此逆变换也可以记作 为恒等变换所对应的矩阵，故 因此 于是有 由此，可得 可见 又 例 使得 的逆矩阵记作 二、逆矩阵的概念和性质 1、定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 ， 则称矩阵 是可逆的， 是 的逆矩阵. 并把矩阵 称为 的逆矩阵. 若设 和 是 可逆矩阵， 则有 所以 的逆矩阵是唯一的,即 说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的. 证明 于是 例1 设 ,求 的逆. 解 设 则 证明 ，使得 两边求行列式，有 定理1 若矩阵 可逆，则 若矩阵 可逆，则即有 定理2 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 其中 为矩阵 的伴随矩阵. 证明 因为矩阵与其伴随矩阵有 ，故有 又因为 所以，按逆矩阵的定义，即有 当 时， 称为奇异矩阵； 证明 推论 若 或 ，则 当 时， 称为非奇异矩阵. 2、奇异矩阵与非奇异矩阵 易知 于是 只证 时， 3、运算规律 （设 均是 阶可逆方阵） 1）若 且 证明 由推论，即有 2）若 且 且 3）若 ，且 同阶， 推广 证明 4）若 且 5）若 6）若 证明 且 证明 而 因为 所以 为整数） （其中 7）其它的一些公式 8）一些规定 四、应用 例2 求下列矩阵的逆，其中 解1） 依对角矩阵的性质知： 依矩阵的逆的定义，必有 易知： 解2） 即 计算 其中 例３ 的行列式. 解 例４ 求 解 设 且满足 有 而 设 求 例5 其中