修正k-w湍流模型在隐式高阶间断Galerkin算法中的应用 卢义.doc

中国工程热物理学会 热机气动热力学 学术会议论文 编号：092097 修正湍流模型在隐式高阶间断Galerkin算法中的应用 卢义，袁新 清华大学热科学与动力工程教育部重点实验室，北京100084开发了并行隐式任意阶精度的间断Galerkin(DG)程序，用于求解二维／三维Euler/Navier-Stokes方程，使用基于残差的人工粘性方法用于捕捉激波，使用经过修正的双方程模型用于RANS方程的求解，结果表明，对方程经过修正后能有效的限制求解过程中湍流变量非物理值的出现。模型，方程修正间断Galerkin算法结合了Godunov类迎风型有限体积法和高阶精度有限元法的优点，通过局部重构的方法，其试函数仅仅与本单元的几何量相关，能够在各种不同类型的网格上进行任意阶精度的计算，具有并行效率高的优点湍流模型的RANS方程如下： （1） 基金项目：国家自然科学基金资助项目国家重点基础研究发展计划（973计划）资助项目（2007CB210108）， ，， ，，，分别为Prantle数及湍流Prandtl数，分别参见Wilcox的低Reynolds数湍流模型[2]。 1.2 模型修正及稳定性条件 式(1)中使用比耗散率的自然对数作为方程的变量，以保证该变量始终为正，在程序的实现中，还限制涡粘性系数，同时，还可根据雷诺应力项的特征限定值的下限，即： （2） （3） 将湍流模型变量带入以上两式可得： （4）（5） 由(4)，（5）式可得的限制方程为： （6） （7） 求解(6)，（7）二式得到的满足雷诺应力稳定性条件，将此值作为的下限，即。 2 RANS方程离散的间断Galerkin离散 方程形式可写为： （8） 2.1 无粘通量的离散 省掉粘性项及源项，仅对时间项及对流项进行间断Galerkin离散，设以表示的边界，根据加权余量法，对方程左右两端均乘以任意形式的试函数，对求解域进行分部积分可得到弱形式如下： (9) 将求解域分解为一系列非交错单元的集合，并使用函数和近似表示单个单元内的值，均由个型函数表示为： (10) 使用Galerkin形式有,而为要求解的向量。 本文所使用的基函数为： ??????????????????? (11) 只使用则为零阶重构一阶精度，与一阶迎风有限体积形式相同，使用进行重构则为二阶精度，三阶精度需使用进行重构，更高阶次的精度只需依次规律增加重构的多项式基函数即可。 将上述表达式带入式(3)可得对每一离散单元有： (12) 上式中表示的边界。将式(4)，式(5)带入式(6)可得个方程，对个单元而言可得个方程，求解得到每个单元的即可得到不同时间步的守恒变量。 对DGM而言，由式(4)及式(5)可以看出，其局部重构的性质使得单元交接面上的值并不连续，具有单元内高阶连续，单元交接面上间断的性质，因此，将式(6)中的通量函数由数值通量替代，其中表示单元交接面外法线方向，而分别表示本单元和相邻单元在邻接点的值。数值通量需满足的条件为： (13) 本文采用自动满足熵条件的HLL及HLLC通量，具体推导见文献[6]。 2.2 粘性通量的离散 单元交界面上粘性通量采用平均处理，则RANS离散表达式为： （14） 上式中表示式（12）的部分，上式中附加变量和参见文献[7]中使用BR格式处理粘性通量的推导。 3 计算结果 3.1无粘流动计算结果 naca翼型网格如下： 加人工粘性 不加人工粘性 图1 Naca翼型计算网格 图2 HLL通量二阶精度 来流mach数为0.76，攻角为0℃。无粘流动计算结果如下： HLLC通量 二阶 HLLC通量 三阶