关于Lebesgue积分中的极限定理.doc

 褚永明 （甘肃省文县一中 甘肃陇南 746400） 摘 要：本文首先给出了控制收敛定理的一个完全独立和更为直接的证明，同时提供了积分与极限可交换次序的一个充要条件，然后 利用控制收敛定理来证明Levi渐升列定理，最后还讨论了Levi定理、Fatou引理和Lebesgue控制收敛定理之间的等价关系。 关键词：Levi定理；Fatou引理；控制收敛定理；等价关系 中图分类号：O174.1 文献标识码：A 文章编号：1000-9795（2011）04-0187-02 一、引言 Lebesgue积分理论中基本的极限定理主要包括Levi定理、Fatou 引理和Lebesgue控制收敛定理，其中最为核心也是应用中最为广泛 的当数控制收敛定理。对这几个重要定理的证明，现行教材和专著 中一般是先证明Levi渐升定理，然后利用该定理来证明Fatou引理和 控制收敛定理等。这一论证过程虽然显得比较自然，但也有明显的 不足之处：一是不能很好地突出控制收敛定理的核心地位，二是掩 盖了控制收敛定理的本质。 在这篇短文中，我们将给控制收敛定理一个完全独立的证明， 同时给出积分与极限可交换次序的一个充分必要条件，然后利用 控制收敛定理反过来证明Levi渐升定理。该证明只用到积分的绝对 连续性和EropoB定理，它使我们清楚地看到控制收敛定理本质上就 是函数列的一致收敛性加上积分的绝对连续性。最后我们还将指出 Levi定理、Fatou引理Lebesgue控制收敛定理之间的等价关系。 二、Lebesgue积分的定义 为了让读者更加清楚地看到本文关于控制收敛定理之证明的独 立性，有必要回忆一下Lebesgue积分的定义。过程通常分为下述几 个步骤： 特别，当 的积分为有限时称 在E上Lebesgue可积 E上Lebesgue可积函数的全体记为L(E). 由定义立即可以推出Lebesgue积分的一些基本性质，如线性性 质、关于积分区域的可加性等。特别，我们有 命题2.1.设 . 则 存在 使得 . 命题2.2.(绝对连续性)设 . 则 存在 使得 且 时， 三、积分与极限次序的可交换性 这一部分我们给出Lebesgue控制定理的一个完全独立的证明， 同时还将给出一个积分与次序可交换的充分必要条件。 定理3.1.(控制收敛定理) 设 并且存在可积函 )，则 可 数 积并且 使得 a.e. 若 a.e.(当 (1) 使得 证明：由命题2.1，我们可以适当固定一个 再由积分的绝对连续性，存在 使得当 且 时， 根据EropoB定理，可选取 上一致收敛于 .于是存在N0使得 且 ，使得 在 我们用 分别表示 中以原点为中心、半径为r的球，为方便 计，用M 表示 中可测集族。对 表示E的测度(一般不至于 . 引起与 的范数 之间的混淆),F(E)表示E上可测函数的全体。 从而当nN时，我们有 Lebesgue积分的定义： (1) 称为是简单可测函数，若存在互不相交的可测集 合 满足 ，使得 ， 时，定义如上简单可测函数的 (2) 这正是我们所期望的。证毕！ 此处 为实数，当 定理3.2.(充分必要条件) 设 ，又 使得对任意的可测集 则 且 Lebesgue积分为 (1)成立当且仅当 存在 ，存在 且 和N0，满足： (2)有限测度的可测集E上有界可测函数 接检验下述基本事实(详细讨论可见[4]等)： 的积分，此时可以直 (3) 使(3)式成立. 由 证明：“ EropoB定理，存在 由(3)，知有 ”. 设 任意给定. 取 且 使得 在 上一致收敛于 . 再 其中 是简单可测函数，基于这一观察， 的积分自然定义为： 使得(3)成立. 注意到 在 上一致收敛于 ， 可取N0使得 (3) 是E 上的非负无界可测函数. 此时定义 的积分为： 其中 ， 是E上的非负可测函数. 定义 的积分为： 其中 利用类似于(2)中分析即知 (4) “ 且 ”. 因 ，由绝对连续性知存在 使得当 (5)一般情形，设 .定义 如下： 时， ， 分别称为 的正部和负部，有 若 的正部或 我们证明若 (3)式成立。 且 ，则存在 且 使得 负部的积分为有限，则可定义 的积分为： 记 . 则 .由EropoB定理，存在 且 使得 Lebesgue积分理论中另一十分著名的极限定理是下述Fatou引 理，该定理可以直接由Levi定理推出，见[4,6]等. 定理4.2.(Fatou引理)设 是可测集合E上的一列非负可测函数 列. 则 在 上一致收敛于 . 令 显然 ，且 在 上 一致收敛于 . 故存在N0使得 再由(1)，不妨设N使得 于是当nN时有 关于这三个基本的极限定理，我们有下述事实： 命题4.3. Levi定理 Fa