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关于一道高考题的探究式教学案例 湖州中学 李蓉 建构主义认为：知识的学习并非是一个被动的过程，而应该是一个主动的建构过程。知识的传授也不是简单地从一个人迁移到另一个人，它必须基于学习者对具体问题的兴趣、探究、反思、消化、改造，才能使之成为真正适合他们自己的知识结构。因此，在课堂教学中，笔者认为开展以自主学习为前提、以合作交流为形式、以探究建构为目的的探究式学习课，无疑对实现学生认知的深化和建构，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，培养学生科学的探索精神和创造能力是大有裨益的。下面是笔者对一道高考题的教学案例，请广大同行点评、指导。 案例实录 创设情境、抛砖引玉： ：前面我们已经学习了双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。下面请大家看一个问题（多媒体电脑显示）： 问题：（81年全国）给定双曲线，过点能否作直线，使与 此双曲线交于两点，且点是的中点？ 这虽然是一道比较早的高考题了，但“经典”的题例是不会因时间的流逝而“褪色”的，我们如果从不同的角度思考，可以得到这个问题的不同解法，请大家尝试，看谁解得最快、最好。 （问题提出后，犹如一石激起了千层浪，学生的探究热情被激发起来了，他们跃跃欲试，立即投入到对该题探索中去） 自主探究，暴露思维 学生求解的同时，教师在行间巡视，发现很快得出了结果，于是请上台板书如下： 假设存在，则显然不平行于轴，设点，则有，， 两式相减，得：， 因为为的中点，所以有： ， 所以，故所求直线的方程为。 ：很好！“点差法”用得恰到好处。 大家都对投以了赞许的目光。 辨析错误，正本清源 突然提出了异议：老师，我虽然没有计算，但是我通过画图，发现所求直线跟双曲线没有交点啊，所以我猜想符合题意的直线不存在。 　教室里一阵躁动不安，有人在自言自语：怎么会呢？直线方程已经求出来了，怎么会不合题意呢？一定是画图不准确。 　　出现了疑惑，此时我故意不点破，而是因势利导。 ：真的是同学画图不准确吗？大家再换个角度想想看，除了画图外，我们还有没有别的办法来判断直线与双曲线的位置关系呢？ 过了一会儿，站起来慷慨陈词：有，可用判断。我的解法是： 假设存在，则显然不平行于轴，故可设的方程为：，代入双曲线方程化简整理得：， 又设点，则是方程的两实根， 又由韦达定理有 所以可得 ， 但此时，直线与双曲线无交点，说明的发现是对的。 ：很好的做法，让我们为他的成功而鼓掌！（热烈的掌声）当然，刚才提出这个问题来，也说明了他很会动脑筋，同样是功不可没的。（学生倍受鼓舞，教师对主体的肯定，更加激发他们的探究热情。） ：用代数的方法，验证了所求直线与双曲线确实没有公共点，符合题意的直线不存在，这就启示我们以后在解决直线与圆锥曲线位置关系的相关问题时，要注意运用对所求结果进行检验。 合作交流，深入探究 这时，迫不及待地站起来说了：老师，我还是不明白，我们求出的这条直线与原双曲线究竟有什么联系呢？为什么它不符合题意，却又被求了出来？ ：问得好，我们的学习中需要的就是这种“打破沙锅问到底”的精神，下面请大家再继续探究，一起帮他解决这个问题好吗？ （事实上，大多数学生也心里存在着这个疑惑，现在带着既帮别人，又帮自己的心情来探究，热情更加高涨） 学生形成讨论小组进行讨论，很快第二小组派出代表发言：从前面的解法中可知，当两个式子相减时，可求出，其实这里前者是后者的充分非必要条件，因为若把与相减，也能推出，所以我们猜想：这条直线可能适合于已知双曲线为其共轭双曲线的情形。 ：敏锐的观察力、大胆合理的猜想，这是创造型人才必备的素质，大家表现得很好，那么猜想正确吗？ 大家纷纷动手进行验证，猜想成立。 再掀波涛，更进一步 讨论到这里，大家都带着一份满足感，一份成就感，轻轻地松了一口气。我也准备结束这道题的讲评时，没想到一直没发言的数学科代表说话了：刚才的研究所得，对一般情形也适用吗？ 我心里一惊，是啊，从特殊到一般，真后悔自己事先怎么没有先去研究一下呢?但我坚信，学生的潜能是巨大的，50多人的智慧应该能解决这个问题的。 于是我马上表扬了科代表的这种强烈的探究意识，同时在黑板上写下了原问题的一般情形，然后师生共同探究： 给定双曲线，过点能否作直线，使与此双曲线交于两点，且点是的中点？ （同学们又兴奋起来，边紧张思考，边在纸上计算。教师以参与者、合作者的身份与学生共同探究，可以更大限度地激发学生的探究热情。） ：我们可以仿照刚才 同学的做法，先假设符合题意的存在，求出，然后把的方程代入双曲线，化简整理得： ， 当，即直线与渐进线平行或重合时，显然不合题意， 当时，， 把代入整理得： “妙，太妙了！” 科代表兴奋不已的说，“现在只要将上式化成的形式，就可通过判定的符号得出的正负了。因此，我们可