三次样条插值函数资料.doc

沈阳航空航天大学 数学软件课程设计 （设计程序） 题目 三次样条插值函数 班级 / 学号 学 生 姓 名 指 导 教 师 沈阳航空航天大学 课 程 设 计 任 务 书 课 程 名 称 数学软件课程设计 院（系） 理学院 专业 信息与计算科学 班级 学号 姓名 课程设计题目 三次样条插值函数 课程设计时间: 2010 年 12月 20日至 2010 年 12月 31日 课程设计的内容及要求： 三次样条插值函数 给出函数在互异点处的值分别为。 掌握求三次样条插值函数的基本原理； 编写程序求在第一边界条件下函数的三次样条插值函数； 在区间上取n=10，20，分别用等距节点对函数 作三次样条插值函数，利用(1)的结果画出插值函数的图形，并在该图形界面中同时画出的图形。 [要求] 学习态度要认真，要积极参与课程设计，锻炼独立思考能力； 严格遵守上机时间安排； 按照MATLAB编程训练的任务要求来编写程序； 根据任务书来完成课程设计论文； 报告书写格式要求按照沈阳航空航天大学“课程设计撰写规范 目 录 一 正文 1 1问题分析 1 1.1 题目 1 1.2 分析 1 2 研究方法原理 1 2.1 求三次样条插值多项式，算法组织 1 3 算例结果 2 二 总结 7 参考文献 8 附 录 9 源程序: 9 程序1 9 程序2 10 程序3 12 程序 4 12 一 正文 1问题分析 1.1 题目 三次样条插值函数 给出函数在互异点处的值分别为。 （1）掌握求三次样条插值函数的基本原理； （2）编写程序求在第一边界条件下函数的三次样条插值函数； （3）在区间上取n=10，20，分别用等距节点对函数 作三次样条插值函数，利用(1)的结果画出插值函数图形，并在该图形界面中同时画出的图形。 1.2 分析 一般认为插值次数n越高，的精度就越高，但实际并非如此，20世纪初龙格(Runge)就发现了这一现象，因此就提出了分段低次插值分段线性插值有一致收敛性，但光滑性差，而三次样条插值具有二介光滑度，三次样条插值首先要给定n个点和对应的函数值，还要给出边界条件如第一边界条件，第二边界条件，而题目要求是在给定第一边界条件下的三次样条插值。 2 研究方法原理 2.1 求三次样条插值多项式，算法组织 所谓三次样条插值多项式是一种分段函数，它在节点分成的每个小区间上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下： 因此，只要确定了的值，就确定了整个表达式，的计算方法如下： 令： 则满足如下n-1个方程： 对于第一种边界条件下有 如果令那么解就可以为 3 算例结果 s(x)可以表示为： 其中p为的矩阵。 当把区间5等分时，输入如下： 图 1 矩阵p输出如下 图 2 图形如下： 图 3 5等分图像 其在不同的区间的函数可以表示如下： 当n=10即区间10等分时，输入如下： 图 4 得到的矩阵p如下： 图 5 图形如下： 图 6 10等分图像 当把区间20等分时，输入如下： 图 7 得到的矩阵p如下： 图 8 得出的图像如下： 图 9 20等分图像 运行gtu.m，输入如下： 图10 运行结果为图像，图形如下： 图11 13、20等分和原图的图像 二 总结 拿到题目时，我首先先弄清三次样条插值函数的基本原理，因为只有这样，在以后的编程中才会更懂的如何编写程序，才会更不会混淆题目的目的。而且，不能为了做题而做题，在做题时还要应用到其它知识。 三次样条插值在不懂的边界条件出来的结果也不一样，表达形式也不一样，特别是计算过程，条件不一样，编写的程序也自然不同，题目给出的是第一边界条件，在第一边界条件中，首先要给出始末两点的导数值，而且要给出n个点的x值和y的对应的值，题目要求，所以有在程序输入x,y和始末两点的导数值。 这课设过程中，我学到了很多，知道了自己的很多不足，如对于某些函数不能巧妙的应用，编写的程序很粗糙，这次课设，我们通过自己的思考与实践，终于完成了。刚开始我对于三次样条插值很不了解，现在，我已经对于三次样条插值有了一定的了解，特别是其中的原理，但公式还是没背下来，不过，原理最重要，这次课设，更好的让我们掌握了Matlab和数值分析，我了解到理论与实践是分不开的，为了更好的掌握一个知识，我们必须通过不断的实践。要学好一门计算机语言，既要掌握其最基本的语言结构，而且要特别的熟