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神 思 夫神思方运,万塗竞萌,规矩虚位,刻镂无形,登山则情满于山,观海则意溢于海,我才之多少,将与风云而并驱矣!方其搦翰,气倍辞前,暨乎篇成,半折心始。何则?意翻空而易奇,言征实而难巧也。? 是以意授于思,言授于意,密则无际,疏则千里,或理在方寸,而求之域表;或義在咫尺,而思隔山河,是以秉心养术,无务苦虑。? 通 变 夫设文之体有常,变文之数无方,何以明其然耶?凡诗赋书记,名理相因,此有常之体也。文辞气力,通变则久,此无方之数也。名理有常,体必资于故实,通变无方, 数必酌于新声。故能骋无穷之路,饮不竭之源。然绠短者衔渴,足疲者辍途,非文理之数尽,乃通变之疎疏耳。故论文之方,譬诸草木;根干丽里土而同性,臭味晞阳而异品矣! 赠言河南大学数学所? 以天为师 可以明天理 参造化? 以人为师 可以致良知 识进退? 谢 谢! Surface parametrizations 2001/05/18 IMA Workshop on Computer Graphics * Good afternoon. This research project has been done in collaboration with my advisor Steven Gortler at Harvard University, and Hugues Hoppe from Microsoft Research. 拓扑和几何的现代发展 欧拉 (1707-1783) 多面体的欧拉公式,组合几何,变分分析,几何与力学,极小曲面。 高斯 (1777-1855) 双曲几何 ( 和罗巴切夫斯基 ( 1792-1856), 波尔约 (1802-1829)一起 ),高斯曲率的内蕴 定义。 ) 曲率的内蕴定义 一张纸的曲率为零。可以将纸弯成一个圆柱面。 两个曲面是相同的:不拖长或撕裂曲面。两曲面的形状不同。 两类几何: 内蕴度量给出高斯曲率 外蕴形状给出主曲率 悬链面 – 螺旋面 (等距形变 )。 demo 高斯(1817) 我越来越确信几何的必然性无法被验证,至少现在无法被人类或为了人类而验证。我们或许能在未来领悟到那无法知晓的空间的本质。 我们无法把几何和纯粹是先验的算术归为一类。几何和力学却不可分割。 黎曼(1826-1866) 在抽象定义的空间上引入黎曼度量 在无穷小近似下就是欧氏几何。然而只在一阶近似下是等同的。 二阶近似由度量的曲率张量来衡量。 导致了几何学的革命。 克里斯托费尔,列维-齐维塔,比安基……,发展了这类抽象空间上的微积分。 黎 曼 面 后来人们意识到对二维空间,每个黎曼度量都可以写成 如果引入复数 度量可写成 黎 曼 面 这样的复坐标在相差一个全纯变换的意义下是唯一的。 具有这样复坐标的抽象二维空间称为黎曼面。 此概念应用于计算机图形学。 黎 曼 面 ●曲面间的全纯变换 demo 高斯曲率 黎曼面的高斯曲率为 黎曼面给出称为复流形的首个例子。 问题:如何重新发现度量? 有一个黎曼面,即给出一个复坐标 z。 有一个定义在黎曼面上的曲率函数 K。 高斯曲率 黎曼度量的曲率 在高维情形,黎曼度量的曲率远不是一个数量函数,它依赖于空间在某个截面上是如何弯曲的,称为曲率张量。 可以对全部曲率张量缩并,得到一个小的张量,称为里奇张量。记为 。 里奇张量是一个对称张量,其迹称为数量曲率。 记为 。 爱因斯坦方程 黎曼几何被爱因斯坦(在格罗斯曼、希尔伯特帮助下)用来描述广义相对论。广义相对论融合了狭义相对论和引力。 爱因斯坦方程 这里 是物质张量(引力由度量 的全部的曲率张量来描述)。 爱因斯坦方程对几何学家们启发深刻。这是一个高度非线性理论。( 是引力位势,是未知量)。 时 空 一般地,我们不能期望由爱因斯坦方程定义的时空有很多的对称性。 因而,很多经典力学中的守恒量在广义相对论无法直接定义。这里包括质量、动量、角动量等。 对于广义相对论中的孤立物理系统,时空在无穷远处基本上是平坦地,因而具渐进对称
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