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多尺度方法在力学中的应用 指导老师　苏先樾 作者　杨陶令 背景概述 1. 应用的领域非常广泛 例如：a.将固体的微观结构与原子层次的组成分 相结合来预测固体材料的宏观特性 b.气象学中对大气环流的多尺度模拟 c.等等 2. 未来发展不可限量 对多尺度方法的说明（一） 1.多尺度方法之所以能够适用于如此广泛地应用于各种研究领域，就在于能够与具体的研究背景相结合。 2.从算法的角度来说，多尺度方法本身没有固定的算法格式，它所体现的更多的是一种研究的需求和应用的思想，在程序上的实现必须结合具体的研究模型。可能会应用非线性方程组的解法，也有可能是统计计算。 对多尺度方法的说明（二） 3.考虑到多尺度方法中算法对具体研究模型的依赖性，在安排具体问题数值计算的过程中，应当灵活地运用具体问题中的合适条件，把计算过程加以简化。 4.正因为多尺度方法自身的特殊性，所以我们要介绍的是，如何结合具体的研究模型的需要，来运用多尺度的方法。 多尺度的力学分析方法 在多尺度的力学分析方法中，比较典型的 算法有： 1.宏观－细观平均化计算方法 2.材料强度的统计计算方法 典型的宏观－细观平均化算法的内容 利用材料的细观周期性的胞元模型和 强调宏观与细观之间相连接的广义自 洽模型相结合来进行计算 ： 1.胞元模型； 2.广义自洽方法。 胞元模型 胞元是材料的一个基本结构，它嵌含材料 的细观几何的要素； 就复合材料来说，胞元应包含颗粒形状、 体积百分数、颗粒分布几何、基本结构、 界面状况等相关要素的信息。 广义自洽方法 考虑宏观和细观的交互作用,具体来 说，就是在平均化的小尺度的胞元 与大尺度的宏观等效介质之间建立 连接。 有关尺度的补充说明 实际操作中，常把宏观－细观平均化计算 方法在多尺度思想上作进一步的推广，即 往往并不要求胞元达到细观尺度，而是相 对于宏观大尺度来说，胞元尺寸构成相对 较小的尺度。两者在尺度上已经形成了很 大幅度的跳跃。 在不同尺度之间的连接 1.分别考虑较小尺度的胞元内的物理量 和胞元周围较大尺度的等效均匀介质 中的物理量； 2.通过一定条件将平均化的小尺度的胞 元与大尺度的宏观等效均匀介质进行 自洽连接。 算例 复合材料等效模量计算中常用的复合 圆柱模型 图示（见下页） 复合圆柱模型的坐标图 复合圆柱模型的横截面图 胞元所包含的信息 基体相和增强相即纤维各自的K氏常数 和 、剪切模量 和 、泊松比 和 以及它们各自的体积分数 Vm 和 Vf 。 需要注意，胞元本身可能并没有达到细观尺 度，但是胞元的尺寸与周围的宏观等效均匀 介质相比起来，在尺度上已经有很大的跳跃。 问题 需要计算的是该复合材料的有效材料 常数。这里以2－3平面内的有效剪切 模量为例： 在宏观等效均匀介质中的物理场 在无限远场的剪切变形条件下，利用圆柱坐标系求解的位移场是： 在胞元基体相中的物理场 在胞元增强相即纤维中的物理场 连接小尺度的胞元和大尺度的宏观等效均匀介质的条件 1. 这一条件在不同的问题中可能不尽相同； 2. 在我们以上考虑的这个问题中，这一条 件就是应力和位移的连续性条件，即 在界面上连续。 计算 1.通过以上的分析，得到六个线性方程和两个复杂 的非线性方程。但问题中引进了以下九个未知量： 。 2.结合具体问题，利用能量原理给出第三个非线性 方程，这样就得到了由九个未知量构成的九个方 程。 3.不要立刻求解这一看起来似乎非常复杂的方程组， 由于九个未知量中只有 是我们关心的，所以 先考虑方程组是否可以做一定的简化，以减少计 算量。原问题最后可以化为关于 的一个非线 性方程。 宏观－细观平均化算法的流程图 第一部分结束语 需要强调的是，正如我们前文所说，多尺度方法是迎合研究过程中的具体需要而产生的一种计算思想，它本身没有固定的计算格式，不论是在力学方面，还是在其他领域，多尺度方法的应用都必须结合其具体的研究模型来展开。 第一部分结束 谢谢大家！ * * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 图１.复合圆柱模型（坐标图） 11 宏观等效均匀介质 胞元基体 胞