定积分的解法.doc

第一部分 定积分的计算 一、定积分的计算 例1 用定积分定义求极限. . 解 原式==. 例2 求极限 . 解法1 由，知，于是. 而，由夹逼准则得=0. 解法2 利用广义积分中值定理 （其中在区间上不变号）， 由于，即有界， ，故=0. 注 （1）当被积函数为或型可作相应变换. 如对积分，可设； 对积分，由于，可设. 对积分，可设 （2）的积分一般方法如下： 将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母，可求出，. 则积分 例3 求定积分 分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 解法2 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元时还应注意： （1）应为区间上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行； （3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可. 例4 计算下列定积分 （1）， ； （2） 解 （1） = 故 =. （2） 这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式： 小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为[0，a]时，设;积分区间为[-a,a]时，设。可使新的积分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。 （2）利用例10.6(2)中同样的方法易得 例5 设在上具有二阶连续导数，， 且，求 解 故 小结 （1）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择的原则； （2）当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解. 例6 计算定积分（为自然数）. 解 是以为周期的偶函数. 例7 证明积分与无关，并求值. 解 ，于是 ┃ 小结 收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法. 二、含定积分的不等式的证明 例8 证明（1）；. 证 （1）在上连续，令，得.比较与的大小，知在上的最大值为，最小值为，故 （2）由于以为周期， 而 ， 因为 ， 所以 ┃ 事实上，（2）中所给变上（下）限定积分与无关，仅为取正值的常数. 例9 设是上单调减少的正值连续函数，证明 证 利用积分中值定理， （因为递减取正值）. 即 ┃ 例10 设在上连续且单调递增，证明：当时，有 （10．1） 分析 将定积分不等式（10．1）视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明。将要证的不等式两端做差，并将换成，作辅助函数，即需证 证 作 ， 则 （因为递增，） 于是，由拉格朗日中值公式，有 即式（10．1）成立. 例11 设在上连续，且，证明 分析 利用条件，生成改变量，借助于拉格朗日中值公式估计 证 因为在上连续，故有界，即存在，使， 故 ┃ 例12 设在上二阶可导，且，证明 分析 已知二阶可导，可考虑利用的一阶泰勒公式估计；又所证的不等式中出现了点，故考虑使用处的泰勒公式. 证 在处的一阶泰勒公式为 ， 其中，在与之间.利用条件，可得 ， 两边从到取积分，得 ┃ 小结 关于含定积分的不等式的证明，常用的有两种方法： 利用定积分的保序性； 利用积分上限函数的单调性. 三、定积分的应用 例13 求由曲线与直线及所围成的图形分别绕轴、轴及旋转一周所成的旋转体的体积. 解 （1）绕轴旋转，积分变量为 （2）绕轴旋转 （3）绕＝1旋转 解法1 取为积分变量，，直线及和双曲线的交点及的纵坐标分别为和.设平面图形，及（见图11—8）绕轴旋转而成的立体的体积分别为和，则所求旋转体的体积为 解法2 取为积分变量，，将分成两部分区间：和. 在上，体积元素为 在上，体积元素为 故所求体积为 解法