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对偶问题的经济解释——影子价格的计算及其应用 摘要：影子价格，又称Lagrange乘子或灵敏度系数，是对偶问题的经济解释，通常指线性规划对偶模型中对偶变量的最优解。它对线性问题相关的经济管理问题具有重要的经济意义。本文扼要介绍了影子价格的基本概念、数学模型、算法和经济意义，阐述了影子价格在经济管理中的具体运用，并给出了算例加以说明。 关键词：影子价格；经济意义；管理决策 0引 言 影子价格，也称最优价格或计算价格，是上世纪50年代荷兰数理经济学家、计量经济学家詹恩·丁伯根和前苏联经济学家、数学家康托罗维奇提出的。随着社会经济的不断发展，“影子价格”理论在当代经济领域里的应用越来越广泛，特别在经营决策的定量分析中，它不但可以为企业决策者提供有关资源最佳配置方面的信息，而且可以借助“影子价格”的计算，来预测每一单位的有限资源的变化对企业经济效益的影响，从而为经济管理者科学、合理地预测和决策提供理论依据。据此，本文介绍了“影子价格”的含义、经济意义和一般算法，并给出了具体算例来说明其在经济管理中的具体运用。 1. 影子价格的基本概念 1.1 影子价格的含义 影子价格是20世纪30年代末~40年代初由前苏联著名数学家、经济学家列·维·康特洛维奇为解决资源最优利用问题而首先提出的,它主要被用于国民经济计划工作中的集中决策研究,也称为“最优计划价格”。他认为影子价格是“有限资源使用情况的反映,资源决定了价格”。随后,荷兰数理经济学家、计量经济学家奎恩·丁伯根将其进一步完善,他认为影子价格是“反映资源得到合理配置的预测价格”,是“对劳动、资本和为获得稀缺资源而进口商品的合理评价,“并将它用于自由经济中的分散决策,又被称为“预测价格”。后来美国著名经济学家萨谬尔森又作了进一步发展,使其成为主要反映资源是否得到合理配置和利用的预测价格概念,他指出:“第一,影子价格是以线性规划为计算方法的‘计算价格’或‘记帐价格’;第二,影子价格是一种资源的价格;第三,影子价格是以边际生产力为基础,即某种资源的产品影子价格就是该资源的边际生产力”。此外,他还把商品的边际成本也称为影子价格。 影子价格以资源的稀缺性为价值依据,以资源的边际效益为价值尺度,反映了资源对目标值的边际贡献、资源在最优决策下的边际价值以及资源的市场供求关系、稀缺程度。它表示对某种资源效用价值的估价,这种估价不是该资源的市场价格,而是根据该资源在特定经济结构中作出的贡献所作的估价,因而称为“影子价格”。 影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。1.2 影子价格的特征 一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征: 1）虚拟性 顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点是虚拟的,但也许在其他时点却是现实存在的市场价格。 2）最优性 在效率定义下,影子价格总对应资源配置的一个最优状态或者帕累托状态,而从机会成本的角度来看,它本身也具备最优性含义,表示决策者所放弃的最优选择所得。由此,影子价格的机会成本定义是与对偶问题的最优值相联系的。 3）确定性 作为生产经营决策的参考依据,相同定义方式下的影子价格在某时点必须是唯一的,这是影子价格引导资源配置的需要。影子价格客观制约于决策者的实际状况,在给定条件下,影子价格是唯一给定的。当然,这种确定性仅仅是相对的。对生产者来说,即使是同种资源,在不同的生产技术、不同的生产规模、不同的利益目标下,其影子价格都可能不同。体现在线性规划求解中,资源的影子价格依赖于系数矩阵、参数向量、价值向量的赋值。 AX≤b YA≥C （P）s.t. （）s.t. X≥0 Y≥0 设B是问题（P）’*= y1* b1+y2*b2+……+ yi*（’*—Z*= yi* 由上式可以看出yi*的意义，它表示当端常数bi增加一个单位时所引起的目标函数最优值的改变量，也可以写成 ?Z* = yi* ?b