导体平板间点电荷的电场研究.doc

导体平板间点电荷的电场研究 如图所示，两无限大导体平板电位均为零，板间有一点电荷q，试求板间电位、电场强度，并用matlab做出场分布示意图。 思路建议： 可从镜像法、分离变量法等方法中选择最佳求解方法。 注意该求解区域为三维空间。 采用直角坐标系分离变量法:因为两导体平板间电位分布具有轴对称性，可先只考虑x0z这个二维平面的电位分布，求出其电位分布，再根据轴对称性得出三维空间的电位分布。 两极板间除点电荷q所在位置之外的空间中电位满足拉普拉斯方程。设电位(具有分离变量解 由边界条件可知，具有的形式，因此只能取指数类的函数；又由于具有偶函数性质，且x((时，电位趋于零，因此可设 由此写出电位的通解为 即时， 时， 在分界面x = 0处，点电荷q用面密度表示为 代入分界面上的边界条件 得到 两边同乘，并对z从0到a积分： 最后得到电位解为 由轴对称性可知极板空间内的电位分布为： 所以，电场 E= －▽Φ Matlab作图： 1.等位面 取q=?0π，a=2,d=1 电位方程可化简为 电位最大处应为电荷q所在点，由设定条件解得Φmax=1.5912 （1）Φ=0.1 时，程序如下： x=-5:0.05:5;y=-5:0.05:5;z=0:0.01:2; [x,y,z]=meshgrid(x,y,z); f=0; for m=1:50 j=(exp(-m*pi.*sqrt(x.^2+y.^2)/2).*sin(m*pi.*z/2).*sin(m*pi/2))./m; f=f+j; end p=patch(isosurface(x,y,z,f,0.1)); xlabel(x) ylabel(y) zlabel(z) set(p, FaceColor, red, EdgeColor, none); daspect([1 1 1]) view(3) camlight; lighting phong 三维图： 俯视图： 侧视图： （2）Φ=0.5时，程序如下： x=-5:0.05:5;y=-5:0.05:5;z=0:0.01:2; [x,y,z]=meshgrid(x,y,z); f=0; for m=1:50 j=(exp(-m*pi.*sqrt(x.^2+y.^2)/2).*sin(m*pi.*z/2).*sin(m*pi/2))./m; f=f+j; end p=patch(isosurface(x,y,z,f,0.5)); xlabel(x) ylabel(y) zlabel(z) set(p, FaceColor, red, EdgeColor, none); daspect([1 1 1]) view(3) camlight; lighting phong 三维图： 俯视图： 侧视图： （3）Φ=1时的三维图 O a d ( q ( = 0 ( = 0 z x